Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} m & 3 \\ 2m & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ m & 1 - m \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix}$ y $E = \begin{pmatrix} 2m \\ 3 \end{pmatrix}$:

a) Si $A \cdot B \cdot C + D = E$, plantee un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por $x$ e $y$) en función del parámetro $m$. [1,5 puntos]

b) Indique un valor de $m$ para el cual el sistema no tenga solución y explique por qué. [1 punto]

$\textbf{a) Si A B C + D = E, plantee un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas en función del parámetro m. [1,5 puntos]}$

Se calcula primero el producto de las dos matrices cuadradas:

$A\cdot B=\begin{pmatrix} m & 3\\ 2m & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ m & 1-m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3m & m+3\,(1-m)\\ 2m & 2m+2\,(1-m)\end{pmatrix}$

$A\cdot B=\begin{pmatrix} 3m & 3-2m\\ 2m & 2\end{pmatrix}$

Conviene despejar antes de multiplicar por el vector de incógnitas:

$A\cdot B\cdot C=E-D=\begin{pmatrix} 2m\\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} m\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m\\ 1\end{pmatrix}$

Y ahora sí:

$\begin{pmatrix} 3m & 3-2m\\ 2m & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m\\ 1\end{pmatrix}$

$\left\{\begin{array}{rcrcl} 3m\,x &+& (3-2m)\,y &=& m\\ 2m\,x &+& 2y &=& 1 \end{array}\right.$

$\textbf{b) Indique un valor de m para el cual el sistema no tenga solución y explique por qué. [1 punto]}$

Se estudia el determinante de la matriz de coeficientes:

$\begin{vmatrix} 3m & 3-2m\\ 2m & 2\end{vmatrix}=6m-2m\,(3-2m)=6m-6m+4m^{2}=4m^{2}$

que solo se anula para $\textbf{m = 0}$. Para cualquier otro valor el sistema tiene solución única, así que ese es el único candidato.

Con $m=0$ el sistema queda

$\left\{\begin{array}{rcl} 3y &=& 0\\ 2y &=& 1 \end{array}\right.$

La primera ecuación obliga a $y=0$ y la segunda a $y=\tfrac12$, lo que es imposible. El sistema es $\textbf{incompatible}$: no tiene solución.

Dicho en términos de rangos, con $m=0$ la matriz de coeficientes tiene rango 1 —la incógnita $x$ desaparece de las dos ecuaciones— mientras que la ampliada tiene rango 2, y por el teorema de Rouché-Frobenius eso significa que no hay solución.