Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema de ecuaciones siguiente, con incógnitas $x$ e $y$:

$\begin{cases} x - y = -m \\ 10x + (10 + m)y = 150 \end{cases}$

a) ¿Para qué valores del parámetro $m$ el sistema tiene una única solución? [1,5 puntos]

b) Si el sistema fuera $\begin{cases} x - y = -\lambda \\ 10x + (10 + m)y = 150 \end{cases}$, encuentre el valor de $m$ y un valor de $\lambda$ para los que el sistema tenga infinitas soluciones y calcule una de ellas. [1 punto]

$\textbf{a) ¿Para qué valores del parámetro m el sistema tiene una única solución? [1,5 puntos]}$

El sistema es

$\left\{\begin{array}{rcrcl} x &-& y &=& -m\\ 10x &+& (10+m)\,y &=& 150 \end{array}\right.$

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas tiene solución única exactamente cuando el determinante de la matriz de coeficientes no se anula:

$\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 10 & 10+m\end{vmatrix}=(10+m)+10=20+m$

$20+m\neq0\iff m\neq-20$

De modo que el sistema es compatible determinado para $\textbf{cualquier } m\neq-20$.

Merece la pena ver qué ocurre con $m=-20$, aunque no lo pida el apartado. El sistema queda

$\left\{\begin{array}{rcl} x-y &=& 20\\ 10x-10y &=& 150 \end{array}\right.$

y la segunda ecuación equivale a $x-y=15$, que contradice a la primera: para ese valor el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución.

$\textbf{b) Si el sistema fuera el del enunciado con λ, encuentre el valor de m y un valor de λ para los que tenga infinitas soluciones y calcule una de ellas. [1 punto]}$

Ahora el término independiente de la primera ecuación es $-\lambda$, independiente de $m$:

$\left\{\begin{array}{rcl} x-y &=& -\lambda\\ 10x+(10+m)\,y &=& 150 \end{array}\right.$

Para que haya infinitas soluciones hacen falta dos cosas. La primera, que el determinante se anule, lo que como antes exige

$m=-20$

Con ese valor la segunda ecuación es $10x-10y=150$, es decir, $x-y=15$. La segunda condición es que la primera ecuación sea la misma, y eso obliga a

$-\lambda=15\Rightarrow \lambda=-15$

Con $m=-20$ y $\lambda=-15$ el sistema se reduce a la única ecuación $x-y=15$, que tiene infinitas soluciones:

$(x,y)=(15+t,\ t),\qquad t\in\mathbb{R}$

Una de ellas, tomando $t=0$, es $(x,y)=(15,\ 0)$; otra, con $t=5$, sería $(20,5)$. Se comprueba la primera en las dos ecuaciones: $15-0=15$ y $10\cdot15-10\cdot0=150$.