Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

Una empresa vende 5000 kg de su producto cuando el precio por kg es de 500 euros. Si el precio aumenta y pasa a ser $x$ euros por kg, la cantidad vendida disminuye en $10(x - 500)$ kg. Si el precio baja y pasa a ser $x$ euros por kg, la cantidad vendida aumenta en $10(500 - x)$ kg.

a) Determine la expresión de la función $f$ que representa las ventas (en euros) de la compañía en función del precio por kg del producto ($x$). [1 punto]

b) ¿Cuál debe ser el precio por kg del producto para que las ventas sean máximas? ¿Qué valor tendrían, en ese caso, las ventas? ¿Qué rango de valores del precio por kg del producto tiene sentido, es decir, da lugar a ventas positivas? [1,5 puntos]

$\textbf{a) Determine la expresión de la función f que representa las ventas (en euros) de la compañía en función del precio por kg del producto. [1 punto]}$

Lo primero es escribir la cantidad vendida en función del precio. Si el precio sube a $x$ euros, la cantidad baja en $10\,(x-500)$ kg:

$q(x)=5000-10\,(x-500)=5000-10x+5000=10\,000-10x$

Y si baja, la cantidad sube en $10\,(500-x)$ kg:

$q(x)=5000+10\,(500-x)=10\,000-10x$

Es la misma expresión en los dos casos, lo que era de esperar: el enunciado describe una única recta de demanda.

Las ventas en euros son el precio por la cantidad:

$f(x)=x\cdot q(x)=x\,(10\,000-10x)$

$f(x)=10\,000x-10x^{2}$

$\textbf{b) ¿Cuál debe ser el precio por kg para que las ventas sean máximas? ¿Qué valor tendrían? ¿Qué rango de precios da lugar a ventas positivas? [1,5 puntos]}$










La función de ventas es una parábola con el coeficiente principal negativo, de modo que tiene un máximo en su vértice:

$f'(x)=10\,000-20x=0\Rightarrow x=500$

y la segunda derivada, $f''=-20<0$, confirma que es máximo.





$f(500)=10\,000\cdot500-10\cdot500^{2}=5\,000\,000-2\,500\,000$

$f(500)=2\,500\,000\ \text{€}$

El precio óptimo es de $500$ € por kilo —justamente el de partida— y las ventas alcanzarían $2{,}5$ millones de euros. Tiene sentido: subir el precio hace ganar más por kilo pero vender menos, y bajarlo, al revés; el equilibrio está en el punto medio.

Para el rango con ventas positivas se resuelve la inecuación:

$f(x)>0\iff 10x\,(1000-x)>0$

El producto es positivo cuando los dos factores lo son, es decir, cuando

$0<x<1000$

Solo tienen sentido, por tanto, los precios entre 0 y 1000 €/kg. El límite superior es claro: a 1000 € el kilo la demanda se anula —$q(1000)=0$— y la empresa no vendería nada.