Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Para estimar el porcentaje de visitantes que realiza alguna compra en la tienda de un parque de atracciones se tomaron dos muestras del mismo tamaño $n$. En la primera muestra se obtuvo una proporción muestral (de visitantes que compran en la tienda) de $0{,}7$ y, a partir de ella, se construyeron dos intervalos de confianza para la proporción poblacional de visitantes que realizan alguna compra en la tienda, uno al 90 % y otro al 95 %. A partir de la segunda muestra se obtuvo un tercer intervalo al 95 % de confianza. Los tres intervalos obtenidos (no necesariamente por este orden) fueron: $(0{,}6102;\ 0{,}7898)$, $(0{,}5565;\ 0{,}7435)$ y $(0{,}6248;\ 0{,}7752)$.

a) Razone qué dos intervalos de estos tres corresponden a la primera muestra. ¿Cuál de esos dos es el correspondiente al 90 % de confianza? [1,5 puntos]

b) Respecto a la segunda muestra, teniendo en cuenta el intervalo obtenido, ¿cuál fue el tamaño muestral $n$? ¿Cuál fue el número de visitantes en esa muestra que realizó alguna compra en la tienda? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $F$ de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(1{,}28) = 0{,}90$; $F(1{,}64) = 0{,}95$; $F(1{,}96) = 0{,}975$; $F(2{,}33) = 0{,}99$; $F(2{,}58) = 0{,}995$.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza $(1-\alpha)100\,\%$, para la proporción poblacional, a partir de una muestra de tamaño $n$ suficientemente grande (habitualmente se considera $n \ge 100$): $\left(\hat{p} - z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\ \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)$, con $F(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$.

$\textbf{a) Razone qué dos intervalos de estos tres corresponden a la primera muestra. ¿Cuál de esos dos es el correspondiente al 90 \% de confianza? [1,5 puntos]}$

Todo intervalo de confianza para una proporción está centrado en la proporción muestral, así que basta calcular el centro de los tres:

Intervalo	Centro	Semiamplitud $(0{,}6102;\ 0{,}7898)$	0,70	0,0898 $(0{,}5565;\ 0{,}7435)$	0,65	0,0935 $(0{,}6248;\ 0{,}7752)$	0,70	0,0752

La primera muestra dio $\hat p=0{,}7$, de modo que sus dos intervalos son el $\textbf{primero}$ y el $\textbf{tercero}$, los que están centrados en 0,70. El segundo, centrado en 0,65, procede necesariamente de la otra muestra.

Entre esos dos, el del 90 % es el $\textbf{más estrecho}$, porque a menor confianza, menor valor crítico y menor error:

$(0{,}6248;\ 0{,}7752)$

Se puede comprobar con la fórmula. Como los dos proceden de la misma muestra, el cociente de sus semiamplitudes ha de ser el de los valores críticos:

$\frac{0{,}0898}{0{,}0752}=1{,}19\approx\frac{1{,}96}{1{,}64}=1{,}195$

lo que confirma que el ancho corresponde al 95 % y el estrecho al 90 %.

$\textbf{b) Respecto a la segunda muestra, ¿cuál fue el tamaño muestral n? ¿Cuál fue el número de visitantes que realizó alguna compra? [1 punto]}$

El intervalo de la segunda muestra es $(0{,}5565;\ 0{,}7435)$, al 95 % de confianza, con

$\hat p=0{,}65\qquad E=0{,}0935$

Se despeja el tamaño de la fórmula del error:

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}}\Rightarrow 0{,}0935=1{,}96\sqrt{\frac{0{,}65\cdot0{,}35}{n}}$

$\sqrt{\frac{0{,}2275}{n}}=\frac{0{,}0935}{1{,}96}=0{,}04770\Rightarrow \frac{0{,}2275}{n}=0{,}002276$

$n=\frac{0{,}2275}{0{,}002276}=100$

La muestra fue de $100$ visitantes, el mismo tamaño que la primera, como decía el enunciado. El número de visitantes que compró en la tienda es

$100\cdot0{,}65=65\ \text{visitantes}$