Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

El gasto por visitante en una atracción se puede asumir que sigue distribución normal con desviación 8 euros.

a) ¿Cuál es el tamaño de muestra $n$ mínimo para estimar el gasto medio por visitante en esta atracción mediante un intervalo de confianza al nivel de confianza del 90 % con un error de estimación inferior a 2 €? Si, con el mismo nivel de confianza, se quisiese obtener un intervalo con menos error, ¿habría que aumentar o reducir el tamaño muestral mínimo obtenido? [1 punto]

b) Para una muestra de $n$ visitantes se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza al 95 % de confianza (en euros) para el gasto medio por visitante: $(11{,}0947;\ 12{,}9053)$. ¿Cuál fue el gasto medio por visitante en esa muestra? ¿Cuál fue el tamaño muestral $n$ considerado? ¿Cuál es el error de estimación en este caso? [0,5 puntos]

c) Partiendo del intervalo del apartado b), empareje las situaciones y los intervalos siguientes y justifique su elección. [1 punto]

(i) Intervalo a partir de la misma muestra pero a un nivel de confianza mayor.

(ii) Intervalo con la misma media muestral y nivel de confianza, pero obtenido a partir de una muestra de mayor tamaño.

(iii) Intervalo con nivel de confianza obtenido a partir de una muestra con el mismo tamaño pero con una media muestral diferente.

(A) $(10{,}0947;\ 11{,}9053)$ (B) $(10{,}9238;\ 13{,}0762)$ (C) $(11{,}216;\ 12{,}784)$

Algunos valores de la función de distribución $F$ de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(1{,}28) = 0{,}90$; $F(1{,}64) = 0{,}95$; $F(1{,}96) = 0{,}975$; $F(2{,}33) = 0{,}99$; $F(2{,}58) = 0{,}995$.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza $(1-\alpha)100\,\%$, para la media poblacional de una variable con distribución normal de varianza conocida, a partir de una muestra de tamaño $n$: $\left(\overline{x} - z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x} + z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$, con $F(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$.

$\textbf{a) ¿Cuál es el tamaño de muestra n mínimo para estimar el gasto medio con un intervalo al 90 \% de confianza y un error inferior a 2 €? Si se quisiese menos error, ¿habría que aumentar o reducir el tamaño muestral? [1 punto]}$

El error máximo de estimación de la media es

$E=z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt n}$

Para el 90 % de confianza se busca $F(z_{\alpha/2})=1-0{,}10/2=0{,}95$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}64$. Con $\sigma=8$ y $E<2$:

$\sqrt n>\frac{1{,}64\cdot8}{2}=6{,}56\Rightarrow n>6{,}56^{2}=43{,}03$

$n=44\ \text{visitantes}$

Se redondea hacia arriba porque el tamaño ha de ser entero y el error tiene que quedar por debajo de 2 €.

En cuanto a la segunda pregunta, para reducir el error $\textbf{hay que aumentar}$ la muestra: en la fórmula $n$ está en el denominador y bajo una raíz, de modo que a más datos, menos error. Eso sí, la mejora es lenta: para dividir el error entre dos hay que cuadruplicar el número de visitantes encuestados.

$\textbf{b) Para el intervalo (11,0947; 12,9053) al 95 \%, ¿cuál fue el gasto medio muestral? ¿Cuál el tamaño n? ¿Cuál el error de estimación? [0,5 puntos]}$

El intervalo está centrado en la media muestral:

$\overline{x}=\frac{11{,}0947+12{,}9053}{2}=12\ \text{€}$

y su semiamplitud es el error de estimación:

$E=12{,}9053-12=0{,}9053\ \text{€}$

Con ese error se despeja el tamaño, ahora con $z_{\alpha/2}=1{,}96$, que es el del 95 %:

$0{,}9053=1{,}96\cdot\frac{8}{\sqrt n}\Rightarrow \sqrt n=\frac{15{,}68}{0{,}9053}=17{,}32$

$n=17{,}32^{2}=300\ \text{visitantes}$

$\textbf{c) Empareje las situaciones y los intervalos siguientes y justifique su elección. [1 punto]}$

Conviene fijarse en dos rasgos de cada intervalo: dónde está centrado (la media muestral) y cuánto mide (el error).

Intervalo	Centro	Semiamplitud (A) $(10{,}0947;\ 11{,}9053)$	11	0,9053 (B) $(10{,}9238;\ 13{,}0762)$	12	1,0762 (C) $(11{,}216;\ 12{,}784)$	12	0,784

$\textbf{(i)}$ Misma muestra pero mayor confianza: el centro no cambia (12) y el intervalo se ensancha, porque el valor crítico crece. Es el $\textbf{(B)}$, cuya semiamplitud es mayor que la original de 0,9053 (corresponde a $z=2{,}33$, es decir, al 98 %).

$\textbf{(ii)}$ Misma media y misma confianza, pero muestra mayor: el centro sigue siendo 12 y el intervalo se estrecha, porque $\sqrt n$ aumenta. Es el $\textbf{(C)}$.

$\textbf{(iii)}$ Mismo tamaño y misma confianza, pero otra media muestral: el intervalo mide exactamente lo mismo que el original y solo se desplaza. Es el $\textbf{(A)}$, con la misma semiamplitud 0,9053 pero centrado en 11.