Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} -1 & -m \\ 3 & -8 - m \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} m & -3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 4 \\ 6m - 8 \end{pmatrix}$ y $E = \begin{pmatrix} 0 \\ -2m \end{pmatrix}$:

a) Si $A \cdot B \cdot C = \dfrac{1}{2}D + E$, plantee un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por $x$ e $y$) en función del parámetro $m$. [1,5 puntos]

b) Encuentre un valor de $m$ para el cual el sistema tenga infinitas soluciones. [1 punto]

$\textbf{a) Si A B C = (1/2)D + E, plantee un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas en función del parámetro m. [1,5 puntos]}$

Se calcula primero el producto de las dos matrices cuadradas:

$A\cdot B=\begin{pmatrix} -1 & -m\\ 3 & -8-m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} m & -3\\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -m-m & 3\\ 3m-8-m & -9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2m & 3\\ 2m-8 & -9\end{pmatrix}$

y después por el vector de incógnitas:

$A\cdot B\cdot C=\begin{pmatrix} -2m\,x+3y\\ (2m-8)\,x-9y\end{pmatrix}$

El segundo miembro es

$\frac12 D+E=\begin{pmatrix} 2\\ 3m-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\ -2m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ m-4\end{pmatrix}$

Igualando componente a componente:

$\left\{\begin{array}{rcrcl} -2m\,x &+& 3y &=& 2\\ (2m-8)\,x &-& 9y &=& m-4 \end{array}\right.$

$\textbf{b) Encuentre un valor de m para el cual el sistema tenga infinitas soluciones. [1 punto]}$

Para que haya infinitas soluciones el determinante de los coeficientes ha de anularse:

$\begin{vmatrix} -2m & 3\\ 2m-8 & -9\end{vmatrix}=18m-3\,(2m-8)=18m-6m+24=12m+24$

$12m+24=0\Rightarrow m=-2$

Falta comprobar que con ese valor el sistema es compatible —y no incompatible—, lo que exige que la segunda ecuación sea proporcional a la primera también en el término independiente. Con $m=-2$:

$\left\{\begin{array}{rcl} 4x+3y &=& 2\\ -12x-9y &=& -6 \end{array}\right.$

y la segunda ecuación es exactamente la primera multiplicada por $-3$. El sistema se reduce a una sola ecuación, $4x+3y=2$, y tiene infinitas soluciones:

$(x,y)=\left(\lambda,\ \frac{2-4\lambda}{3}\right),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

El valor buscado es, por tanto, $m=-2$.