Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En una de las atracciones hay dos tipos de pases, el pase VIP y el normal; sus precios son, respectivamente, $x$ e $y$. Un grupo de personas pagó, en total, 90 € cuando compró un pase VIP y tres pases normales, mientras que otro grupo de personas pagó $15m$ € por comprar dos pases VIP y $m$ pases normales. Para determinar el precio de cada pase, se utiliza el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x + 3y = 90 \\ 2x + my = 15m \end{cases}$

a) Si $m = 15$, ¿cuál fue el precio de cada tipo de pase? [1 punto]

b) Proporcione un valor de $m$ para el cual el sistema tenga solución, pero esa solución carezca de sentido en el contexto del problema. Justifique su respuesta. [1 punto]

c) ¿Para qué valor de $m$ el sistema no tiene solución? Justifique su respuesta. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Si m = 15, ¿cuál fue el precio de cada tipo de pase? [1 punto]}$

Con $m=15$ el sistema es

$\left\{\begin{array}{rcrcl} x &+& 3y &=& 90\\ 2x &+& 15y &=& 225 \end{array}\right.$

Se despeja de la primera, $x=90-3y$, y se sustituye en la segunda:

$2\,(90-3y)+15y=225\Rightarrow 180-6y+15y=225\Rightarrow 9y=45\Rightarrow y=5$

$x=90-15=75$

El pase VIP costó $75$ € y el normal, $5$ €. Se comprueban las dos compras: $75+3\cdot5=90$ y $2\cdot75+15\cdot5=225=15\cdot15$.

$\textbf{b) Proporcione un valor de m para el cual el sistema tenga solución, pero esa solución carezca de sentido en el contexto del problema. [1 punto]}$

Conviene resolver el sistema en general. De la primera ecuación, $x=90-3y$, y sustituyendo:

$2\,(90-3y)+my=15m\Rightarrow 180-6y+my=15m\Rightarrow y\,(m-6)=15m-180$

$y=\frac{15\,(m-12)}{m-6}\qquad x=90-3y=\frac{45m}{m-6}$

válido siempre que $m\neq6$. Ahora basta elegir un valor que dé un precio negativo, cosa que ocurre cuando $6<m<12$, porque entonces el numerador de $y$ es negativo y el denominador positivo.

Por ejemplo, con $\textbf{m = 10}$:

$y=\frac{15\,(10-12)}{10-6}=\frac{-30}{4}=-7{,}5\qquad x=\frac{450}{4}=112{,}5$

El sistema tiene solución única, pero el pase normal saldría a $-7{,}5$ €. Un precio negativo no tiene ningún sentido —significaría que la feria paga por entrar—, así que ese valor de $m$ hay que descartarlo.

$\textbf{c) ¿Para qué valor de m el sistema no tiene solución? [0,5 puntos]}$

El sistema deja de tener solución única cuando se anula el determinante de la matriz de coeficientes:

$\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & m\end{vmatrix}=m-6=0\Rightarrow m=6$

Y con $m=6$ el sistema es incompatible, como se ve en la expresión general: la ecuación queda

$y\,(6-6)=15\cdot6-180\Rightarrow 0=-90$

que es imposible. Dicho de otro modo, la segunda ecuación sería $2x+6y=90$, es decir, $x+3y=45$, en contradicción con la primera, que exige $x+3y=90$: los mismos pases no pueden costar 90 € y 45 € a la vez.

Para $m=6$, por tanto, no hay ningún par de precios compatible con los dos datos.