Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Dada la función $f(x) = -\dfrac{1}{4}x^{2} + 6x - 30$:

a) Encuentre la primitiva $F$ de $f$ para la que se verifica que $F(2) = 2$. [1 punto]

b) La función $f$ determina, entre $x = 10\ \text{m}$ y $x = 16\ \text{m}$, el recorrido de una montaña rusa. Se quiere pintar de color gris la superficie bajo el recorrido en ese intervalo. Cada bote contiene pintura para $15\ \text{m}^{2}$ de superficie. ¿Cuántos botes serán necesarios para pintar toda esa superficie? [1,5 puntos]

$\textbf{a) Encuentre la primitiva F de f para la que se verifica que F(2) = 2. [1 punto]}$

Se integra término a término:

$F(x)=\int\left(-\frac{1}{4}x^{2}+6x-30\right)dx=-\frac{x^{3}}{12}+3x^{2}-30x+C$

y se impone la condición:

$F(2)=-\frac{8}{12}+12-60+C=-\frac{2}{3}-48+C=2$

$C=2+48+\frac23=\frac{152}{3}=50{,}67$

$F(x)=-\frac{x^{3}}{12}+3x^{2}-30x+\frac{152}{3}$

$\textbf{b) ¿Cuántos botes serán necesarios para pintar toda esa superficie? [1,5 puntos]}$










La superficie bajo el recorrido entre $x=10$ y $x=16$ es la integral definida de $f$ en ese intervalo, siempre que la función sea positiva ahí, cosa que conviene comprobar:

$f(10)=-25+60-30=5>0$

$f(16)=-64+96-30=2>0$

y el vértice de la parábola, en $x=12$, vale $6$.





$\text{Área}=\int_{10}^{16}\left(-\frac{x^{2}}{4}+6x-30\right)dx=\Big[F(x)\Big]_{10}^{16}$

Se puede usar la primitiva del apartado anterior, porque la constante se cancela al restar:

$F(16)=-\frac{4096}{12}+768-480=-341{,}33+288=-53{,}33$

$F(10)=-\frac{1000}{12}+300-300=-83{,}33$

$\text{Área}=-53{,}33-(-83{,}33)=30\ \text{m}^{2}$

Cada bote cubre 15 m², de modo que

$\frac{30}{15}=2$

Hacen falta exactamente $\textbf{2 botes}$ de pintura. (Si el cociente no hubiera salido entero habría que redondear hacia arriba, porque los botes no se compran a medias.)