Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

La velocidad de una montaña rusa, medida en km/h, durante los 20 primeros segundos del recorrido se puede aproximar por la siguiente función:

$f(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}x^{2} + 7x & \text{si } 0 \le x \le 12 \\[8pt] \dfrac{-1}{108}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} - 34x + 220 & \text{si } 12 < x \le 20 \end{cases}$

donde $x$ representa el tiempo (en segundos) desde la salida.

a) ¿En qué intervalos de tiempo la velocidad aumenta y en cuáles decrece? [1 punto]

b) Tras el segundo 1 y antes del segundo 20, ¿la velocidad es inferior a 5 km/h en algún momento? ¿Supera los 70 km/h en algún momento? En caso afirmativo, indique cuándo. [1 punto]

c) Explique cuál de las siguientes figuras se corresponde con la gráfica de la función $f$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) ¿En qué intervalos de tiempo la velocidad aumenta y en cuáles decrece? [1 punto]}$










Se estudia el signo de la derivada en cada tramo. En el primero, $0\le x\le12$:

$f'(x)=-x+7$

que se anula en $x=7$, es positiva antes y negativa después.





En el segundo tramo, $12<x\le20$:

$f'(x)=-\frac{3x^{2}}{108}+3x-34=-\frac{x^{2}}{36}+3x-34$

Igualando a cero y multiplicando por $-36$:

$x^{2}-108x+1224=0\Rightarrow x=\frac{108\pm\sqrt{11\,664-4896}}{2}=\frac{108\pm82{,}27}{2}$

Las raíces son $x=12{,}87$ y $x=95{,}1$; solo la primera cae dentro del intervalo. El signo se comprueba en dos puntos: $f'(12)=-4+36-34=-2<0$ y $f'(15)=-6{,}25+45-34=4{,}75>0$.

En resumen:

Intervalo	Signo de $f'$	La velocidad $(0,\ 7)$	$+$	aumenta $(7,\ 12{,}87)$	$-$	disminuye $(12{,}87,\ 20)$	$+$	aumenta

Conviene comprobar de paso que la función es continua en el empalme, porque si no el estudio no valdría: $f(12^-)=-72+84=12$ y $f(12^+)=-16+216-408+220=12$.

$\textbf{b) Tras el segundo 1 y antes del segundo 20, ¿la velocidad es inferior a 5 km/h en algún momento? ¿Supera los 70 km/h en algún momento? [1 punto]}$

En un intervalo cerrado, los valores extremos de una función continua se alcanzan o en los puntos críticos o en los bordes, así que basta evaluar los cuatro candidatos:

$x$ (s)	1	7	12,87	20 $f(x)$ (km/h)	6,5	24,5	11,14	65,93

El menor de todos es $f(1)=6{,}5$ km/h, de modo que la velocidad $\textbf{nunca baja de 5}$ km/h en ese intervalo: el mínimo local del segundo tramo, 11,14 km/h, queda todavía más alto.

Y el mayor es $f(20)=65{,}93$ km/h, así que tampoco $\textbf{llega a superar los 70}$ km/h, aunque se queda cerca al final del recorrido. El máximo local del primer tramo, 24,5 km/h, está muy lejos de ese umbral.

$\textbf{c) Explique cuál de las siguientes figuras se corresponde con la gráfica de la función f. [0,5 puntos]}$

Los apartados anteriores dan tres señas de identidad que la gráfica correcta debe respetar:

Pasa por el origen, ya que $f(0)=0$.

Tiene un máximo local en $x=7$ de valor $24{,}5$.

Y un mínimo local en $x\approx12{,}9$ de valor $\approx11$, a partir del cual sube con fuerza.

La única que cumple las tres es la $\textbf{(i)}$.

La $(ii)$ hay que descartarla porque su máximo vale unos 19,5 y su mínimo unos 6, y además no arranca en el origen. Y la $(iii)$, porque presenta un salto alrededor de $x=10$ y su mínimo cae por debajo de 11; nuestra función es continua en todo el recorrido, como se comprobó en el apartado a).