Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Para valorar una nueva propuesta de movilidad sostenible en el área central de Asturias, se encarga un sondeo de opinión realizado sobre 500 personas seleccionadas al azar. A partir del sondeo, se estima la proporción de población a favor de la propuesta mediante un intervalo al 95 %: $(0{,}52;\ 0{,}60)$.

a) Determine la proporción muestral de población a favor de la propuesta y el error máximo de estimación que se comete con este intervalo. [1 punto]

b) A partir del intervalo de confianza, ¿cree que los responsables políticos pueden estar seguros de que la mayoría de la población apoya la propuesta? Explique su respuesta. [0,5 puntos]

c) Si los responsables políticos quieren que el error sea inferior al 1 %, ¿cómo debería variar el tamaño de la muestra? Justifique la respuesta basándose en la relación entre el error y el tamaño muestral. Si se mantuviera el nivel de confianza al 95 % y la proporción muestral siguiera siendo la misma, ¿cuál debería ser el nuevo tamaño de la muestra para que el error máximo no supere el 1 %? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $F$ de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(1{,}28) = 0{,}90$; $F(1{,}64) = 0{,}95$; $F(1{,}96) = 0{,}975$; $F(2{,}33) = 0{,}99$; $F(2{,}58) = 0{,}995$.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza $(1-\alpha)100\,\%$, para la proporción poblacional, a partir de una muestra de tamaño $n$ suficientemente grande (habitualmente se considera $n \ge 100$): $\left(\hat{p} - z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\ \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)$, con $F(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$.

$\textbf{a) Determine la proporción muestral de población a favor de la propuesta y el error máximo de estimación que se comete con este intervalo. [1 punto]}$

El intervalo de confianza para una proporción está centrado en la proporción muestral y su semiamplitud es el error máximo de estimación:

$\hat p=\frac{0{,}52+0{,}60}{2}=0{,}56$

$E=\frac{0{,}60-0{,}52}{2}=0{,}04$

La proporción muestral a favor es del $56\ \%$ y el error máximo, de $0{,}04$, es decir, $4$ puntos porcentuales.

$\textbf{b) ¿Cree que los responsables políticos pueden estar seguros de que la mayoría de la población apoya la propuesta? [0,5 puntos]}$

«La mayoría» significa una proporción mayor que $0{,}5$. El intervalo obtenido es $(0{,}52;\ 0{,}60)$, y su extremo inferior ya supera ese valor:

$0{,}52>0{,}50$

Todo el intervalo queda por encima del 50 %, de modo que sí: con el 95 % de confianza los responsables pueden afirmar que la propuesta cuenta con el apoyo de la mayoría. Conviene matizar que «seguros» no es la palabra exacta —siempre queda un 5 % de riesgo de que el intervalo no contenga la proporción real—, pero la evidencia es suficiente al nivel de confianza fijado.

$\textbf{c) Si quieren que el error sea inferior al 1 \%, ¿cómo debería variar el tamaño de la muestra? ¿Cuál debería ser el nuevo tamaño para que el error máximo no supere el 1 \%? [1 punto]}$

La relación entre el error y el tamaño muestral es

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}}$

El tamaño aparece dentro de una raíz cuadrada y en el denominador, así que $\textbf{hay que aumentarlo}$, y bastante: para dividir el error entre 4 —de 0,04 a 0,01— hace falta multiplicar $n$ por $4^{2}=16$. La mejora de la precisión es cara, porque va con la raíz.

Despejando el tamaño con $z_{\alpha/2}=1{,}96$, $\hat p=0{,}56$ y $E=0{,}01$:

$n\ge\frac{z_{\alpha/2}^{2}\,\hat p\,(1-\hat p)}{E^{2}}=\frac{1{,}96^{2}\cdot0{,}56\cdot0{,}44}{0{,}01^{2}}=\frac{3{,}8416\cdot0{,}2464}{0{,}0001}$

$n\ge9465{,}7$

Como el tamaño ha de ser entero y la desigualdad es «al menos», se redondea hacia arriba:

$n=9466\ \text{personas}$

Habría que encuestar a unas $9466$ personas, casi diecinueve veces las 500 del sondeo original.