Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Se desea estimar el gasto medio por turista en las zonas rurales de Asturias durante el verano, para lo que se selecciona una muestra aleatoria de 200 turistas. Se puede suponer que el gasto por turista sigue una distribución normal, con desviación típica de 15 €. Los siguientes son tres intervalos con diferentes niveles de confianza obtenidos a partir de la información de la muestra:

(A) $(82{,}921;\ 87{,}079)$ (B) $(83{,}642;\ 86{,}358)$ (C) $(82{,}529;\ 87{,}471)$

a) ¿Qué gasto medio por turista se obtuvo en la muestra? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál de los tres es el intervalo al 95 % de confianza para el gasto medio poblacional? [1 punto]

c) Explique qué significa que el intervalo sea más o menos ancho según el nivel de confianza elegido. De entre los tres anteriores justifique cuál es el intervalo que correspondería a un nivel de confianza del 80 %. [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $F$ de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(1{,}28) = 0{,}90$; $F(1{,}64) = 0{,}95$; $F(1{,}96) = 0{,}975$; $F(2{,}33) = 0{,}99$; $F(2{,}58) = 0{,}995$.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza $(1-\alpha)100\,\%$, para la media poblacional de una variable con distribución normal de varianza conocida, a partir de una muestra de tamaño $n$: $\left(\overline{x} - z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x} + z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$, con $F(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$.

$\textbf{a) ¿Qué gasto medio por turista se obtuvo en la muestra? [0,5 puntos]}$

Todo intervalo de confianza para la media está centrado en la media muestral, así que basta calcular el punto medio de cualquiera de los tres:

$\overline{x}=\frac{82{,}921+87{,}079}{2}=\frac{170}{2}=85$

Se comprueba que los otros dos dan lo mismo:

$\frac{83{,}642+86{,}358}{2}=85\qquad \frac{82{,}529+87{,}471}{2}=85$

El gasto medio de la muestra fue de $85$ € por turista. Que los tres intervalos compartan centro era de esperar: proceden de la misma muestra y solo se diferencian en el nivel de confianza.

$\textbf{b) ¿Cuál de los tres es el intervalo al 95 \% de confianza para el gasto medio poblacional? [1 punto]}$

El error de estimación es

$E=z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt n}=z_{\alpha/2}\,\frac{15}{\sqrt{200}}=z_{\alpha/2}\cdot1{,}0607$

Para el 95 % de confianza, la tabla da $F(1{,}96)=0{,}975=1-\alpha/2$, de modo que $z_{\alpha/2}=1{,}96$ y

$E=1{,}96\cdot1{,}0607=2{,}079$

El intervalo sería $(85-2{,}079;\ 85+2{,}079)=(82{,}921;\ 87{,}079)$, que es exactamente el $\textbf{(A)}$.

Se puede comprobar de paso a qué nivel corresponden los otros dos, sin más que dividir su semiamplitud entre $1{,}0607$:

Intervalo	Semiamplitud	$z_{\alpha/2}$	Confianza (A)	2,079	1,96	95 \% (B)	1,358	1,28	80 \% (C)	2,471	2,33	98 \%

$\textbf{c) Explique qué significa que el intervalo sea más o menos ancho según el nivel de confianza elegido. Justifique cuál correspondería a un nivel de confianza del 80 \%. [1 punto]}$

El nivel de confianza mide con qué frecuencia el procedimiento acierta: si se repitiera el muestreo muchas veces, el 95 % de los intervalos construidos al 95 % contendrían la verdadera media poblacional. Exigir más confianza obliga a abarcar más valores, es decir, a ampliar el intervalo; y a la inversa, un intervalo estrecho es más informativo pero se equivoca más a menudo. Con la muestra fija, precisión y confianza tiran en sentidos contrarios.

En la fórmula eso se ve en el valor crítico: cuanto mayor es la confianza, mayor es $z_{\alpha/2}$ y más ancho resulta el intervalo.

El del 80 % ha de ser, por tanto, el $\textbf{más estrecho}$ de los tres, que es el $\textbf{(B)}$. Y en efecto: para el 80 % se necesita $F(z)=1-0{,}20/2=0{,}90$, que la tabla sitúa en $z=1{,}28$, y

$E=1{,}28\cdot1{,}0607=1{,}358$

que es justo su semiamplitud, $86{,}358-85=1{,}358$.