Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dado el parámetro $m$ y las matrices siguientes:

$A = \begin{pmatrix} -2 & m \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 3/2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} -2 & m \\ 2 & m + 6 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ y $E = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

a) A partir de $(A \cdot B - C) \cdot D = E$ plantee un sistema de dos ecuaciones, con incógnitas $x$ e $y$. [1 punto]

b) El sistema planteado, ¿tiene solución para cualquier valor de $m$? En caso afirmativo, ¿es siempre única? En caso negativo, ¿para qué valores de $m$ no tiene solución? Explique sus respuestas y calcule una solución para un valor de $m$, a su elección, de los que hacen que el sistema tenga solución única. [1,5 puntos]

$\textbf{a) A partir de (A B - C) D = E plantee un sistema de dos ecuaciones, con incógnitas x e y. [1 punto]}$

Se opera por pasos. Primero el producto:

$A\cdot B=\begin{pmatrix} -2 & m\\ 4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3/2\\ 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2+2m & -3+m\\ 4+2 & 6+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2m-2 & m-3\\ 6 & 7\end{pmatrix}$

Después la resta, que es la que simplifica el resultado:

$A\cdot B-C=\begin{pmatrix} 2m-2 & m-3\\ 6 & 7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2 & m\\ 2 & m+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2m & -3\\ 4 & 1-m\end{pmatrix}$

Y por último el producto por el vector de incógnitas, igualado a $E$:

$\begin{pmatrix} 2m & -3\\ 4 & 1-m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ 1\end{pmatrix}$

$\left\{\begin{array}{rcrcl} 2m\,x &-& 3y &=& -1\\ 4x &+& (1-m)\,y &=& 1 \end{array}\right.$

$\textbf{b) ¿Tiene solución para cualquier valor de m? ¿Es siempre única? ¿Para qué valores no tiene solución? Calcule una solución para un valor de m a su elección de los que hacen que el sistema tenga solución única. [1,5 puntos]}$

Se estudia el determinante de la matriz de coeficientes:

$\begin{vmatrix} 2m & -3\\ 4 & 1-m\end{vmatrix}=2m\,(1-m)+12=-2m^{2}+2m+12=-2\,(m^{2}-m-6)$

$-2\,(m-3)(m+2)=0\Rightarrow m=3\ \text{o}\ m=-2$

Para cualquier otro valor de $m$ el determinante no se anula y el sistema tiene solución única. Falta ver qué ocurre en los dos casos especiales:

$\textbf{Si } m=3$: el sistema es $6x-3y=-1$, $4x-2y=1$. Multiplicando la segunda por $3/2$ se obtiene $6x-3y=3/2$, que contradice a la primera. Es $\textbf{incompatible}$: no tiene solución.

$\textbf{Si } m=-2$: queda $-4x-3y=-1$ y $4x+3y=1$, que son la misma ecuación cambiada de signo. El sistema es $\textbf{compatible indeterminado}$ y tiene infinitas soluciones.

En resumen: no tiene solución solo para $m=3$; para $m=-2$ tiene infinitas, y para el resto de valores, una única.

Se elige, por ejemplo, $m=0$, para el que el determinante vale $12\neq0$:

$\left\{\begin{array}{rcl} -3y &=& -1\\ 4x+y &=& 1 \end{array}\right.$

De la primera, $y=\tfrac13$, y sustituyendo:

$4x=1-\frac13=\frac23\Rightarrow x=\frac16$

La solución es $(x,y)=\left(\tfrac16,\ \tfrac13\right)$.