Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Las variables $x$ e $y$ representan los fondos (en millones de euros) que un ayuntamiento va a dedicar, respectivamente, a créditos para autónomos y a ayudas a polígonos industriales. Las normas de gasto imponen algunas restricciones, que se pueden modelar con el siguiente sistema de ecuaciones ($k$ es un parámetro que depende del crecimiento económico):

$\begin{cases} 3x + 4y = 24 \\ 5x - ky = 12 \end{cases}$

a) ¿Es posible que, para algún valor de $k$, el ayuntamiento no encuentre solución en $x$ e $y$? Si es posible, halle ese valor $k$. [1 punto]

b) Si $k = -3$, ¿cuántas soluciones existen para este sistema? Calcúlelas y explique si tienen sentido en el contexto del problema. [1,5 puntos]

$\textbf{a) ¿Es posible que, para algún valor de k, el ayuntamiento no encuentre solución en x e y? Si es posible, halle ese valor k. [1 punto]}$

El sistema es

$\left\{\begin{array}{rcrcl} 3x &+& 4y &=& 24\\ 5x &-& ky &=& 12 \end{array}\right.$

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas solo puede dejar de tener solución si el determinante de la matriz de coeficientes se anula:

$\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & -k\end{vmatrix}=-3k-20=0\Rightarrow k=-\frac{20}{3}$

Con ese valor las dos ecuaciones tienen los coeficientes proporcionales, y hay que ver si los términos independientes siguen la misma proporción. La segunda ecuación queda

$5x+\frac{20}{3}y=12$

y si se multiplica la primera por $5/3$ resulta

$5x+\frac{20}{3}y=40$

El primer miembro es el mismo, pero uno vale 12 y el otro 40: las ecuaciones son contradictorias.

Sí es posible, por tanto: para $k=-\dfrac{20}{3}$ el sistema es incompatible y el ayuntamiento no encontraría ningún reparto que cumpliera las dos normas a la vez.

$\textbf{b) Si k = -3, ¿cuántas soluciones existen para este sistema? Calcúlelas y explique si tienen sentido en el contexto del problema. [1,5 puntos]}$

Con $k=-3$ el determinante vale

$-3\,(-3)-20=9-20=-11\neq0$

así que el sistema es compatible determinado: existe una $\textbf{única}$ solución. El sistema es

$\left\{\begin{array}{rcrcl} 3x &+& 4y &=& 24\\ 5x &+& 3y &=& 12 \end{array}\right.$

Se resuelve por reducción, multiplicando la primera por 3 y la segunda por 4:

$\left\{\begin{array}{rcrcl} 9x &+& 12y &=& 72\\ 20x &+& 12y &=& 48 \end{array}\right.$

Restando la primera de la segunda:

$11x=-24\Rightarrow x=-\frac{24}{11}=-2{,}18$

y sustituyendo en la primera:

$4y=24-3\left(-\frac{24}{11}\right)=24+\frac{72}{11}=\frac{336}{11}\Rightarrow y=\frac{84}{11}=7{,}64$

La solución única es $(x,y)=\left(-\tfrac{24}{11},\ \tfrac{84}{11}\right)\approx(-2{,}18;\ 7{,}64)$.

Y no, $\textbf{no tiene sentido}$ en el contexto del problema: $x$ representa los millones de euros destinados a créditos para autónomos, y sale negativo. No se puede dedicar una cantidad negativa de dinero a una partida, de modo que con $k=-3$ el modelo, aun teniendo solución matemática, no ofrece un reparto realizable. El ayuntamiento tendría que revisar las condiciones de gasto.