Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa produce bicicletas ($x$) y patinetes ($y$). La empresa dispone diariamente de 700 kg de aluminio y 750 minutos en la línea de montaje. Para producir una bicicleta se necesitan procesar 20 kg de aluminio y se consumen 10 min en la línea de montaje; mientras que para un patinete se procesan 15 kg de aluminio y se consumen 20 min en la cadena de montaje. La empresa tiene que satisfacer un contrato que la obliga a entregar al menos 7 bicicletas más que patinetes.



a) Señale cuáles son los vértices que, en la figura que se muestra, definen la región factible para el problema que consiste en resolver: ¿cuántas bicicletas y patinetes puede producir la empresa en un día? [1 punto]

b) ¿Cambiaría el conjunto de posibles soluciones si cada patinete consumiera 10 minutos de montaje, en lugar de 20? Explique su respuesta. [0,5 puntos]

c) Si por cada bicicleta la empresa tiene una ganancia marginal de 4 € y por cada patinete gana 3 €, ¿cuántas bicicletas y patinetes debe producir al día para maximizar la ganancia? [1 punto]

$\textbf{a) Señale cuáles son los vértices que, en la figura que se muestra, definen la región factible para el problema. [1 punto]}$










Se traducen las condiciones, con $x$ las bicicletas e $y$ los patinetes:

$20x+15y\le700$ (aluminio)

$10x+20y\le750$ (montaje)

$x-y\ge7$ (contrato)

$x\ge0,\ y\ge0$





La región factible es el triángulo de vértices

$A(7,0),\qquad B(35,0),\qquad C(23,16)$

El vértice $A$ es el corte de $x-y=7$ con el eje $X$; el $B$, el de la recta del aluminio con ese mismo eje ($20x=700$); y el $C$, el corte de las rectas del aluminio y del contrato:

$\left\{\begin{array}{l} 20x+15y=700\\ x-y=7 \end{array}\right.\Rightarrow 20\,(y+7)+15y=700\Rightarrow 35y=560\Rightarrow y=16,\ x=23$

La empresa puede fabricar, por tanto, cualquier combinación entera de bicicletas y patinetes dentro de ese triángulo: desde 7 bicicletas y ningún patinete hasta 35 bicicletas, o 23 bicicletas con 16 patinetes.

$\textbf{b) ¿Cambiaría el conjunto de posibles soluciones si cada patinete consumiera 10 minutos de montaje, en lugar de 20? [0,5 puntos]}$

No cambiaría, y la razón es que la restricción del montaje no está limitando nada. Se comprueba evaluándola en los vértices:

$A(7,0):\ 10\cdot7=70\ \text{min}\qquad B(35,0):\ 350\ \text{min}\qquad C(23,16):\ 230+320=550\ \text{min}$

Ninguno llega a los 750 minutos disponibles, así que la recta $10x+20y=750$ pasa por fuera del triángulo y podría borrarse del problema sin que la región factible variase.

Si además se rebaja el consumo de cada patinete a 10 minutos, la restricción se vuelve todavía menos exigente —$10x+10y\le750$, y en $C$ solo se emplearían 390 minutos—, de modo que sigue sin recortar la región. El conjunto de soluciones posibles es exactamente el mismo.

$\textbf{c) ¿Cuántas bicicletas y patinetes debe producir al día para maximizar la ganancia? [1 punto]}$

La función objetivo es

$F(x,y)=4x+3y$

y se evalúa en los tres vértices:

Vértice	$F(x,y)=4x+3y$ $A(7,0)$	$28$ € $B(35,0)$	$140$ € $C(23,16)$	$92+48=140$ €

El máximo, $140$ €, se alcanza en $\textbf{dos}$ vértices a la vez, y eso significa que también lo alcanza en todos los puntos del segmento que los une. La explicación es que la recta de nivel de la función objetivo,

$4x+3y=140$

es exactamente la recta del aluminio $20x+15y=700$ dividida entre 5: la restricción y el objetivo son paralelos, y el problema tiene infinitas soluciones óptimas.

Como las cantidades han de ser enteras, las soluciones válidas son

$(35,0),\ (32,4),\ (29,8),\ (26,12)\ \text{y}\ (23,16)$

todas con la misma ganancia máxima de $140$ € al día. La empresa puede elegir cualquiera de ellas atendiendo a otros criterios —por ejemplo, el que menos aluminio deje sin usar—, ya que económicamente son equivalentes.