Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Una empresa olivarera considera que la cantidad (medida en kg/ha) de aceituna recolectada en un año se puede expresar como una función ($f$) que depende de los litros de lluvia caídos durante ese año ($x$). La expresión de $f$ es:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{6}\left(-x^{2} + 730x - 96\,000\right) & \text{si } 250 \le x \le 450 \\[8pt] \dfrac{2x^{2}}{5} - 390x + a & \text{si } 450 < x \le 480 \end{cases}$

a) Determine el valor de la constante $a$ para que la función $f$ sea continua en todo su dominio. [1 punto]

b) Utilizando el valor de $a$ obtenido en el apartado anterior, ¿con qué cantidad de lluvia se recogería la máxima cantidad de aceituna? ¿Cuántos kg/ha se recogen en ese caso? ¿Con qué cantidad de lluvia se recogería la mínima cantidad de aceituna? [1,5 puntos]

$\textbf{a) Determine el valor de la constante a para que la función f sea continua en todo su dominio. [1 punto]}$










Los dos trozos son polinomios, luego son continuos donde están definidos. El único punto que hay que estudiar es el empalme, $x=450$, donde han de coincidir los dos límites laterales.





Por la izquierda:

$\lim_{x\to450^-}f(x)=\frac16\left(-450^{2}+730\cdot450-96\,000\right)=\frac16\,(-202\,500+328\,500-96\,000)$

$=\frac{30\,000}{6}=5000$

Por la derecha:

$\lim_{x\to450^+}f(x)=\frac{2\cdot450^{2}}{5}-390\cdot450+a=81\,000-175\,500+a=-94\,500+a$

Igualando:

$-94\,500+a=5000\Rightarrow a=99\,500$

Con $a=99\,500$ la función es continua en todo $[250,480]$.

$\textbf{b) ¿Con qué cantidad de lluvia se recogería la máxima cantidad de aceituna? ¿Cuántos kg/ha se recogen en ese caso? ¿Con qué cantidad de lluvia se recogería la mínima cantidad de aceituna? [1,5 puntos]}$

Se estudia cada tramo por separado y se comparan después los extremos, que es lo que exige un problema de máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado.

$\textbf{Primer tramo, } 250\le x\le450$. Es una parábola hacia abajo:

$f'(x)=\frac16\,(-2x+730)=0\Rightarrow x=365$

$f(365)=\frac16\left(-133\,225+266\,450-96\,000\right)=\frac{37\,225}{6}=6204{,}17$

$\textbf{Segundo tramo, } 450<x\le480$. Ahora la parábola se abre hacia arriba, con vértice en

$f'(x)=\frac{4x}{5}-390=0\Rightarrow x=487{,}5$

que cae fuera del intervalo. Como $f'(480)=384-390=-6<0$, la función decrece en todo el tramo, desde $f(450)=5000$ hasta

$f(480)=\frac{2\cdot480^{2}}{5}-390\cdot480+99\,500=92\,160-187\,200+99\,500=4460$

Reuniendo los candidatos —los extremos del dominio y los puntos críticos—:

$x$ (L)	250	365	450	480 $f(x)$ (kg/ha)	4000	6204,17	5000	4460

La máxima cosecha se obtiene con $365$ litros de lluvia y asciende a $6204{,}17$ kg/ha, y la mínima con $250$ litros, con $4000$ kg/ha.

El resultado tiene sentido agronómico: hay una cantidad óptima de lluvia, y tanto la sequía como el exceso de agua reducen la cosecha.