Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

La audiencia (en miles de espectadores) que se registró durante un partido de fútbol se puede modelar mediante la función $f$, donde $x$ representa el minuto de juego (cada partido de fútbol se divide en dos partes, cada una de ellas dura 45 minutos):

$f(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{9}x^{2} + 10x + 570 & \text{si } 0 \le x \le 45 \\[6pt] \dfrac{1}{5}x^{2} - 18x + 1200 & \text{si } 45 < x \le 90 \end{cases}$

a) ¿En qué minutos de la primera parte del partido aumentó la audiencia? [0,5 puntos]

b) ¿Disminuyó la audiencia en algún momento a lo largo de los 90 minutos de partido? [1 punto]

c) Argumente si alguna o varias de las gráficas siguientes se corresponde con la audiencia de los últimos 45 minutos de partido (en las tres gráficas $x$ representa el tiempo en minutos e $y$ la audiencia en miles de espectadores). [1 punto]

$\textbf{a) ¿En qué minutos de la primera parte del partido aumentó la audiencia? [0,5 puntos]}$










En la primera parte la audiencia sigue la parábola

$f(x)=-\frac{1}{9}x^{2}+10x+570$

que se abre hacia abajo. Crece a la izquierda de su vértice, que se obtiene anulando la derivada:

$f'(x)=-\frac{2}{9}x+10=0\Rightarrow x=45$





Como el vértice cae justo en el minuto 45, la derivada es positiva en todo el intervalo $[0,45)$ y la audiencia aumenta durante $\textbf{toda la primera parte}$, de los 570 000 espectadores iniciales a los

$f(45)=-\frac{2025}{9}+450+570=-225+1020=795$

es decir, 795 000 al llegar al descanso.

$\textbf{b) ¿Disminuyó la audiencia en algún momento a lo largo de los 90 minutos de partido? [1 punto]}$

Hay que estudiar también el segundo tramo y comprobar de paso que no hay salto en el empalme.

En $x=45$ los dos trozos coinciden:

$\frac{1}{5}\,(45)^{2}-18\cdot45+1200=405-810+1200=795=f(45)$

así que la función es continua y la audiencia no cae de golpe en el descanso.

En la segunda parte:

$f'(x)=\frac{2}{5}x-18=0\Rightarrow x=45$

y ahora la parábola se abre hacia arriba, de modo que su vértice es un mínimo y la derivada es positiva para todo $x>45$. Por ejemplo, $f'(60)=24-18=6>0$.

La respuesta es, por tanto, que $\textbf{no}$: la audiencia no disminuyó en ningún momento. Creció durante los 90 minutos, desde los 570 000 espectadores del pitido inicial hasta

$f(90)=\frac{8100}{5}-1620+1200=1620-1620+1200=1200$

1 200 000 al final del partido. Lo que sí cambia es el ritmo: la primera parte crece cada vez más despacio y la segunda, cada vez más deprisa.

$\textbf{c) Argumente si alguna o varias de las gráficas siguientes se corresponde con la audiencia de los últimos 45 minutos de partido. [1 punto]}$

Lo que hay que buscar es la gráfica de $f(x)=\frac15x^{2}-18x+1200$ en $[45,90]$, y tres rasgos la identifican sin necesidad de tabular:

Empieza en $f(45)=795$ y termina en $f(90)=1200$.

Es creciente en todo el intervalo, como se ha visto en el apartado anterior.

Y es $\textbf{convexa}$ —curvada hacia arriba—, porque el coeficiente de $x^{2}$ es positivo. Eso significa que la pendiente aumenta: arranca en $f'(45)=0$, es decir, con tangente horizontal, y llega a $f'(90)=18$.

La única que cumple las tres condiciones es la gráfica $\textbf{(A)}$: sale de 795 casi plana y sube cada vez más rápido hasta 1200.

La $(B)$ hay que descartarla porque es cóncava —crece cada vez más despacio— y además acaba en unos 1245, no en 1200. Y la $(C)$, porque tiene forma de S: crece deprisa en el centro y vuelve a aplanarse al final, algo que ninguna parábola puede hacer, ya que su curvatura no cambia de signo.