Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Un estudio sociológico analiza el gasto mensual en alquiler de las personas jóvenes (en €). Se asume que ese gasto sigue una distribución normal, con una desviación típica de 150 €.

a) Si se quiere estimar el gasto medio mensual en alquiler de las personas jóvenes, ¿cuál es el tamaño muestral mínimo necesario para que el error de estimación máximo sea de 20 €, con un nivel de confianza del 95 %? [1 punto]

b) En la misma población se tomó una muestra aleatoria de 900 personas jóvenes y se obtuvo un intervalo de confianza al 90 % para el gasto medio mensual que resultó ser $(741{,}77;\ 758{,}23)$. ¿Cuál fue el gasto medio mensual obtenido en esta muestra de 900 personas? [0,5 puntos]

c) Se realizó una nueva encuesta con un tamaño muestral mucho mayor que el del apartado anterior. Si se determina el intervalo de confianza al nivel del 90 %, ¿el error de estimación será mayor o menor que en el caso anterior? ¿El error dependerá del valor de la media muestral $\overline{x}$ que se obtenga? Explique razonadamente su respuesta. [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $F$ de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(1{,}28) = 0{,}90$; $F(1{,}64) = 0{,}95$; $F(1{,}96) = 0{,}975$; $F(2{,}33) = 0{,}99$; $F(2{,}58) = 0{,}995$.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza $(1-\alpha)100\,\%$, para la media poblacional de una variable con distribución normal de varianza conocida, a partir de una muestra de tamaño $n$: $\left(\overline{x} - z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x} + z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$, con $F(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$.

$\textbf{a) ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo necesario para que el error de estimación máximo sea de 20 €, con un nivel de confianza del 95 \%? [1 punto]}$

El error máximo de estimación de la media, con la desviación típica poblacional conocida, es

$E=z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt n}$

Para una confianza del 95 % se necesita el valor crítico que deja $0{,}975$ a su izquierda, y la tabla da $F(1{,}96)=0{,}975$, luego $z_{\alpha/2}=1{,}96$. Despejando el tamaño de la muestra:

$\sqrt n\ge\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}=\frac{1{,}96\cdot150}{20}=14{,}7$

$n\ge14{,}7^{2}=216{,}09$

Como el tamaño muestral ha de ser un número entero y la desigualdad es «al menos», se redondea siempre hacia arriba:

$n=217\ \text{personas}$

Con 216 el error se pasaría —aunque fuera por poco— de los 20 € admitidos.

$\textbf{b) ¿Cuál fue el gasto medio mensual obtenido en esta muestra de 900 personas? [0,5 puntos]}$

El intervalo de confianza para la media está centrado en la media muestral, así que basta calcular el punto medio:

$\overline{x}=\frac{741{,}77+758{,}23}{2}=\frac{1500}{2}=750\ \text{€}$

El gasto medio mensual de la muestra fue de $750$ €. (Se puede comprobar la coherencia del intervalo: su semiamplitud es $8{,}23$, y $1{,}64\cdot150/\sqrt{900}=1{,}64\cdot5=8{,}2$, el error correspondiente al 90 % de confianza que indica el enunciado.)

$\textbf{c) Con un tamaño muestral mucho mayor y el mismo nivel del 90 \%, ¿el error de estimación será mayor o menor? ¿Dependerá del valor de la media muestral? [1 punto]}$

El error de estimación es

$E=z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt n}$

y en esa expresión aparecen solo tres cosas: el valor crítico, que depende del nivel de confianza; la desviación típica poblacional, que es un dato fijo de $150$ €; y el tamaño de la muestra.

Al aumentar $n$ manteniendo el 90 % de confianza, el denominador $\sqrt n$ crece y el error $\textbf{disminuye}$: el intervalo se estrecha y la estimación es más precisa. Eso sí, la mejora es lenta, porque el error va con la raíz cuadrada: para reducirlo a la mitad hay que cuadruplicar la muestra.

Y no, el error $\textbf{no depende}$ del valor de la media muestral $\overline{x}$: esta solo determina dónde se centra el intervalo, no su anchura. Es una diferencia importante respecto del intervalo para una proporción, donde el error sí depende de $\hat p$ porque el error estándar es $\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$.