Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

El ayuntamiento de una gran ciudad está analizando el éxito de sus presupuestos participativos.

a) Para estimar la verdadera proporción que apoya los presupuestos participativos, el ayuntamiento encuestó a una muestra aleatoria de 800 residentes y obtuvo un intervalo de confianza al 95 % que resultó $(0{,}6169;\ 0{,}6831)$. ¿Cuántas personas de las 800 que formaban la muestra respondieron que sí apoyan los presupuestos participativos? ¿Qué proporción de personas en la muestra apoyaba los presupuestos participativos? [1 punto]

b) El ayuntamiento quiere estar seguro de que más de dos tercios de la población apoya los presupuestos participativos. Con los datos del apartado anterior, ¿puede el ayuntamiento estar seguro de ello con una confianza de, al menos, el 95 %? [0,5 puntos]

c) Utilizando la misma muestra de 800 personas del apartado anterior, otro equipo de análisis presentó un informe donde el intervalo para la proporción de apoyo era más amplio: $(0{,}6107;\ 0{,}6893)$. ¿Cuál fue el nivel de confianza que utilizó este segundo equipo para calcular su intervalo? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $F$ de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(1{,}28) = 0{,}90$; $F(1{,}64) = 0{,}95$; $F(1{,}96) = 0{,}975$; $F(2{,}33) = 0{,}99$; $F(2{,}58) = 0{,}995$.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza $(1-\alpha)100\,\%$, para la proporción poblacional, a partir de una muestra de tamaño $n$ suficientemente grande (habitualmente se considera $n \ge 100$): $\left(\hat{p} - z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\ \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)$, con $F(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$.

$\textbf{a) ¿Cuántas personas de las 800 que formaban la muestra respondieron que sí apoyan los presupuestos participativos? ¿Qué proporción de personas en la muestra apoyaba los presupuestos participativos? [1 punto]}$

Todo intervalo de confianza para una proporción está centrado en la proporción muestral, de modo que $\hat p$ es el punto medio de los dos extremos:

$\hat p=\frac{0{,}6169+0{,}6831}{2}=\frac{1{,}3}{2}=0{,}65$

La proporción muestral de apoyo es $0{,}65$, un 65 %. El número de personas que respondieron que sí es

$800\cdot0{,}65=520\ \text{personas}$

(Como comprobación, la semiamplitud del intervalo es $0{,}6831-0{,}65=0{,}0331$, que en efecto coincide con $1{,}96\sqrt{0{,}65\cdot0{,}35/800}=1{,}96\cdot0{,}016\,86=0{,}0331$, el error del 95 % de confianza.)

$\textbf{b) El ayuntamiento quiere estar seguro de que más de dos tercios de la población apoya los presupuestos participativos. ¿Puede estar seguro de ello con una confianza de, al menos, el 95 \%? [0,5 puntos]}$

Dos tercios de la población es

$\frac23=0{,}6667$

y el intervalo de confianza al 95 % obtenido es $(0{,}6169;\ 0{,}6831)$. Ese valor $\textbf{está dentro}$ del intervalo, ya que

$0{,}6169<0{,}6667<0{,}6831$

Por tanto no, el ayuntamiento no puede estar seguro. Con esa confianza, los datos son compatibles tanto con proporciones superiores a dos tercios como con proporciones inferiores; de hecho todo el tramo $(0{,}6169;\ 0{,}6667)$ del intervalo corresponde a apoyos menores. Para poder afirmarlo, el extremo inferior del intervalo tendría que superar $0{,}6667$, cosa que exigiría una muestra bastante mayor.

$\textbf{c) Otro equipo presentó el intervalo (0,6107; 0,6893). ¿Cuál fue el nivel de confianza que utilizó? [1 punto]}$

El intervalo está centrado en la misma proporción muestral —$(0{,}6107+0{,}6893)/2=0{,}65$—, así que lo único que cambia es el valor crítico. Su semiamplitud es

$E=0{,}6893-0{,}65=0{,}0393$

y el error estándar de la proporción, con $n=800$, vale

$\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}}=\sqrt{\frac{0{,}65\cdot0{,}35}{800}}=\sqrt{2{,}8438\cdot10^{-4}}=0{,}016\,86$

De la fórmula $E=z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$ se despeja el valor crítico:

$z_{\alpha/2}=\frac{0{,}0393}{0{,}016\,86}=2{,}33$

En la tabla, $F(2{,}33)=0{,}99$, y como $F(z_{\alpha/2})=1-\alpha/2$:

$1-\frac{\alpha}{2}=0{,}99\Rightarrow \alpha=0{,}02\Rightarrow 1-\alpha=0{,}98$

El segundo equipo trabajó con un nivel de confianza del $\textbf{98 \%}$. Era de esperar que fuese mayor que el 95 % del primero: con la misma muestra, más confianza obliga a un intervalo más ancho.