Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dado el parámetro $m$ y las matrices siguientes:

$A = \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} m \\ 1 \end{pmatrix}$ y $E = \begin{pmatrix} 1 - m \\ 1 \end{pmatrix}$.

a) A partir de $A \cdot B \cdot C = 2(D + E)$ plantee un sistema de dos ecuaciones, con incógnitas $x$ e $y$. [1 punto]

b) Explique si existe algún valor de $m$ para el que el sistema no tenga solución. Si existe, diga cuál es. [0,5 puntos]

c) Elija un valor de $m$ para el que el sistema tenga solución única y resuélvalo. [1 punto]

$\textbf{a) A partir de A B C = 2(D + E) plantee un sistema de dos ecuaciones, con incógnitas x e y. [1 punto]}$

Se opera por partes. Primero el producto de las dos matrices cuadradas:

$A\cdot B=\begin{pmatrix} 1 & m\\ m & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} m & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m+m & 1\\ m^{2}+2 & m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2m & 1\\ m^{2}+2 & m\end{pmatrix}$

Y ahora por el vector de incógnitas:

$A\cdot B\cdot C=\begin{pmatrix} 2m & 1\\ m^{2}+2 & m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2mx+y\\ (m^{2}+2)x+my\end{pmatrix}$

El segundo miembro es aún más sencillo, y conviene notar que la $m$ desaparece al sumar:

$D+E=\begin{pmatrix} m\\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1-m\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}\Rightarrow 2\,(D+E)=\begin{pmatrix} 2\\ 4\end{pmatrix}$

Igualando componente a componente:

$\left\{\begin{array}{rcrcl} 2m\,x &+& y &=& 2\\ (m^{2}+2)\,x &+& m\,y &=& 4 \end{array}\right.$

$\textbf{b) Explique si existe algún valor de m para el que el sistema no tenga solución. Si existe, diga cuál es. [0,5 puntos]}$

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas deja de tener solución única cuando el determinante de la matriz de coeficientes se anula:

$\begin{vmatrix} 2m & 1\\ m^{2}+2 & m\end{vmatrix}=2m^{2}-(m^{2}+2)=m^{2}-2$

$m^{2}-2=0\Rightarrow m=\pm\sqrt2$

Falta ver si en esos casos el sistema es incompatible o indeterminado. Con $m=\sqrt2$:

$\left\{\begin{array}{l} 2\sqrt2\,x+y=2\\ 4x+\sqrt2\,y=4 \end{array}\right.$

Multiplicando la primera ecuación por $\sqrt2$ se obtiene $4x+\sqrt2\,y=2\sqrt2\approx2{,}83$, que contradice a la segunda, donde ese mismo miembro vale 4. El sistema es incompatible. Lo mismo ocurre con $m=-\sqrt2$.

Sí existen, por tanto, valores sin solución: $m=\sqrt2$ y $m=-\sqrt2$.

$\textbf{c) Elija un valor de m para el que el sistema tenga solución única y resuélvalo. [1 punto]}$

Sirve cualquier $m$ distinto de $\pm\sqrt2$. El más cómodo es $m=0$, con el que el determinante vale $0-2=-2\neq0$:

$\left\{\begin{array}{rcl} y &=& 2\\ 2x &=& 4 \end{array}\right.$

$x=2,\qquad y=2$

La solución única es $(x,y)=(2,2)$. Se comprueba en las dos ecuaciones de partida con $m=0$: $0\cdot2+2=2$ y $2\cdot2+0\cdot2=4$.

(Con $m=1$, por ejemplo, saldría el sistema $2x+y=2$, $3x+y=4$, cuya solución es $(2,-2)$.)