Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Las variables $x$ e $y$ representan, respectivamente, las horas semanales de fisioterapia y de asistencia doméstica que los servicios sociales deben asignar a una persona. Se realizan dos valoraciones independientes para intentar determinar las horas correspondientes, obteniéndose una ecuación a partir de cada valoración. La valoración depende del parámetro $a$:

$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ ax + 6y = 15 \end{cases}$

a) Encuentre el valor de $a$ para que existan infinitas soluciones a este problema. Exprese, a modo de ejemplo, cuántas horas de fisioterapia ($x$) y de ayuda domiciliaria ($y$) recibiría una persona en una de estas soluciones. [1 punto]

b) Asuma que $a = 1$, encuentre la solución y analice si tiene sentido en el contexto del problema. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Encuentre el valor de a para que existan infinitas soluciones a este problema. Exprese, a modo de ejemplo, cuántas horas de fisioterapia (x) y de ayuda domiciliaria (y) recibiría una persona en una de estas soluciones. [1 punto]}$

El sistema es

$\left\{\begin{array}{rcrcl} x &+& 2y &=& 5\\ ax &+& 6y &=& 15 \end{array}\right.$

Para que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas tenga infinitas soluciones, las dos ecuaciones han de ser proporcionales, es decir, la segunda tiene que ser un múltiplo de la primera. Comparando los términos independientes y los coeficientes de $y$:

$\frac{15}{5}=3\qquad \frac{6}{2}=3$

de modo que la razón de proporcionalidad ha de ser 3 y el coeficiente de $x$ tiene que cumplir

$\frac{a}{1}=3\Rightarrow a=3$

Con $a=3$ la segunda ecuación es exactamente el triple de la primera y el sistema se reduce a $x+2y=5$: es compatible indeterminado, con infinitas soluciones $(x,y)=(5-2\lambda,\ \lambda)$.

Como ejemplo con sentido en el contexto —horas no negativas—, tomando $y=1$ resulta $x=3$: la persona recibiría $3$ horas semanales de fisioterapia y $1$ hora de ayuda domiciliaria. Otra posibilidad sería $(1,2)$: una hora de fisioterapia y dos de ayuda.

Conviene señalar que no todas las infinitas soluciones valen: el contexto exige $x\ge0$ e $y\ge0$, lo que restringe el parámetro a $0\le\lambda\le2{,}5$.

$\textbf{b) Asuma que a = 1, encuentre la solución y analice si tiene sentido en el contexto del problema. [1,5 puntos]}$

Con $a=1$ el sistema queda

$\left\{\begin{array}{rcrcl} x &+& 2y &=& 5\\ x &+& 6y &=& 15 \end{array}\right.$

Ahora los coeficientes de $x$ e $y$ no son proporcionales ($1/1\neq2/6$), así que el sistema es compatible determinado. Restando la primera ecuación de la segunda:

$4y=10\Rightarrow y=2{,}5$

$x=5-2\cdot2{,}5=0$

La solución única es $(x,y)=(0;\ 2{,}5)$.

¿Tiene sentido? Sí, aunque conviene interpretarlo con cuidado. Las dos cantidades son no negativas, que es lo que exige el contexto, y la lectura es que a esa persona no se le asignaría ninguna hora de fisioterapia y sí dos horas y media semanales de asistencia doméstica. Que $x=0$ no invalida la solución: simplemente significa que ese servicio no se presta.

Sí sería problemático, en cambio, un resultado con alguna coordenada negativa —horas negativas no existen—, y eso es lo que habría que comprobar siempre antes de dar por buena la solución de un sistema en un problema de este tipo.