Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa de mobiliario de oficina debe cargar un furgón con un pedido que consiste en mesas ($x$) y sillas ($y$). El furgón tiene una capacidad máxima de carga de 800 kg y un volumen útil de $15\ \text{m}^{3}$. Cada mesa pesa 25 kg y cada silla pesa 8 kg. El embalaje de cada mesa ocupa $0{,}6\ \text{m}^{3}$ y el de cada silla $0{,}2\ \text{m}^{3}$, y se pueden apilar de forma que se ocupe todo el volumen disponible o parte de él. El cliente ha solicitado que se entreguen al menos 2 sillas por cada mesa. El margen de beneficio que obtiene la empresa por envío es de 35 € por mesa y 10 € por silla.



a) Explique qué imagen (i o ii) se corresponde con la región factible para el problema: ¿cuántas mesas y sillas puede enviar la empresa en ese furgón? [1 punto]

b) El peso máximo que puede transportar el furgón, ¿limita la solución? Explique si $(x, y) = (1{,}15;\ 2{,}3)$ tiene sentido como solución en el contexto de este problema. [1 punto]

c) ¿Qué cantidad de mesas y de sillas debe enviar la empresa para maximizar el beneficio? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Explique qué imagen (i o ii) se corresponde con la región factible para el problema: ¿cuántas mesas y sillas puede enviar la empresa en ese furgón? [1 punto]}$










Se traducen las condiciones del enunciado a inecuaciones, con $x$ el número de mesas e $y$ el de sillas:

$25x+8y\le800$ (peso)

$0{,}6x+0{,}2y\le15$ (volumen)

$y\ge2x$ (al menos dos sillas por mesa)

$x\ge0,\ y\ge0$





La región factible es la $\textbf{(i)}$. La condición que decide es la tercera: «al menos 2 sillas por cada mesa» significa $y\ge2x$, es decir, la zona que queda $\textbf{por encima}$ de la recta $y=2x$, y esa es la que aparece sombreada en la imagen (i). La (ii) sombrea la región de debajo, que corresponde a $y\le2x$ y no cumple el encargo del cliente.

Los vértices del recinto son $E(0,0)$, $B(0,75)$ y $C(15,30)$. El punto $C$ es el corte de la recta del volumen con $y=2x$:

$0{,}6x+0{,}2\,(2x)=15\Rightarrow x=15\Rightarrow y=30$

Así que la empresa puede enviar cualquier combinación de mesas y sillas dentro de ese triángulo, siempre con números enteros: desde no enviar nada hasta 75 sillas sin mesas, o hasta 15 mesas si las acompaña de 30 sillas.

$\textbf{b) El peso máximo que puede transportar el furgón, ¿limita la solución? Explique si (x, y) = (1,15; 2,3) tiene sentido como solución en el contexto de este problema. [1 punto]}$

No, el peso no limita. Basta comprobarlo en los vértices, que es donde la carga es mayor:

$B(0,75):\quad 25\cdot0+8\cdot75=600\ \text{kg}$

$C(15,30):\quad 25\cdot15+8\cdot30=375+240=615\ \text{kg}$

En ningún punto de la región factible se llega a los 800 kg admisibles: la restricción del peso es redundante, porque el volumen se agota antes. Se ve también en la figura, donde la recta $25x+8y=800$ queda entera por fuera del recinto.

En cuanto al punto $(1{,}15;\ 2{,}3)$, matemáticamente pertenece a la región factible —cumple las tres inecuaciones—, pero no tiene ningún sentido en el contexto: $x$ e $y$ cuentan mesas y sillas, y no se puede enviar 1,15 mesas ni 2,3 sillas. Las variables de este problema son enteras, de modo que las soluciones admisibles son solo los puntos de coordenadas enteras del triángulo.

$\textbf{c) ¿Qué cantidad de mesas y de sillas debe enviar la empresa para maximizar el beneficio? [0,5 puntos]}$

La función objetivo es el beneficio del envío:

$F(x,y)=35x+10y$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de una función lineal sobre un recinto convexo y acotado se alcanza en un vértice, así que basta evaluarla en los tres:

Vértice	$F(x,y)=35x+10y$ $E(0,0)$	$0$ € $B(0,75)$	$750$ € $C(15,30)$	$525+300=825$ €

El beneficio máximo se obtiene en $C$: la empresa debe enviar $\textbf{15 mesas y 30 sillas}$, con un beneficio de $825$ €. Las dos coordenadas son enteras, así que la solución es válida también en el contexto del problema.