Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Las ventas ($v$, en miles de euros) de una empresa en función del tiempo ($t$, en meses) se pueden modelar mediante la siguiente función:

$v(t) = \begin{cases} 2t + 5, & \text{si } 0 < t < 3 \\[4pt] -t^{2} + 10t + k, & \text{si } 3 \le t < 8 \\[4pt] -k - 4, & \text{si } 8 \le t \le 12 \end{cases}$

a) Determine el valor de la constante $k$ para que la función $v$ sea continua en todo su dominio. [0,5 puntos]

b) Con el valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, ¿en qué momento se alcanza el mayor importe de las ventas? ¿Cuál sería ese importe? ¿En qué momento o momentos aumentan las ventas? [1 punto]

c) Las ventas totales en un intervalo de tiempo se obtienen calculando la integral entre los dos extremos de ese intervalo. ¿Cuál es el importe total (en miles de euros) de las ventas entre el quinto y el noveno mes? (Utilice el valor de $k$ obtenido en el primer apartado.) [1 punto]

$\textbf{a) Determine el valor de la constante k para que la función v sea continua en todo su dominio. [0,5 puntos]}$










Cada trozo es un polinomio, luego es continuo donde está definido. Solo hay que estudiar los dos puntos de empalme, $t=3$ y $t=8$, igualando los límites laterales.





En $t=3$:

$\lim_{t\to3^-}v(t)=2\cdot3+5=11\qquad \lim_{t\to3^+}v(t)=-9+30+k=21+k$

$11=21+k\Rightarrow k=-10$

Conviene comprobar que ese mismo valor sirve también en el segundo empalme, $t=8$:

$\lim_{t\to8^-}v(t)=-64+80+k=16+k=16-10=6$

$v(8)=-k-4=10-4=6$

Los dos coinciden, así que con $k=-10$ la función es continua en todo $(0,12]$.

$\textbf{b) ¿En qué momento se alcanza el mayor importe de las ventas? ¿Cuál sería ese importe? ¿En qué momento o momentos aumentan las ventas? [1 punto]}$

Con $k=-10$ la función es

$v(t)=\begin{cases} 2t+5 & \text{si } 0<t<3\\ -t^{2}+10t-10 & \text{si } 3\le t<8\\ 6 & \text{si } 8\le t\le12\end{cases}$

En el primer tramo es una recta creciente, que sube de 5 a 11.

En el segundo, una parábola hacia abajo. Su vértice se obtiene anulando la derivada:

$v'(t)=-2t+10=0\Rightarrow t=5$

$v(5)=-25+50-10=15$

En el tercero es constante e igual a 6.

El mayor importe se alcanza, por tanto, en el mes $t=5$ y vale $15$ miles de euros, es decir, $15\,000$ €. Es el máximo absoluto, porque supera a los valores de los otros dos tramos.

Las ventas aumentan mientras la derivada es positiva: en todo el primer tramo, $(0,3)$, donde la recta crece, y en $(3,5)$, donde la parábola sigue subiendo hasta su vértice. En conjunto, las ventas crecen durante los cinco primeros meses y a partir de ahí no vuelven a subir.

$\textbf{c) ¿Cuál es el importe total (en miles de euros) de las ventas entre el quinto y el noveno mes? [1 punto]}$

El intervalo $[5,9]$ atraviesa el punto de empalme $t=8$, así que la integral se parte en dos:

$\int_5^{9}v(t)\,dt=\int_5^{8}\left(-t^{2}+10t-10\right)dt+\int_8^{9}6\,dt$

La primera:

$\int_5^{8}\left(-t^{2}+10t-10\right)dt=\left[-\frac{t^{3}}{3}+5t^{2}-10t\right]_5^{8}$

$=\left(-\frac{512}{3}+320-80\right)-\left(-\frac{125}{3}+125-50\right)=\frac{208}{3}-\frac{100}{3}=\frac{108}{3}=36$

La segunda es inmediata, el área de un rectángulo:

$\int_8^{9}6\,dt=6\cdot(9-8)=6$

$\int_5^{9}v(t)\,dt=36+6=42$

El importe total de las ventas entre el quinto y el noveno mes es de $42$ miles de euros, esto es, $42\,000$ €.