Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Un comportamiento habitual de los fenómenos «virales» en las redes sociales es que incrementen muy rápidamente el número de visualizaciones hasta alcanzar su pico de popularidad; tras alcanzarlo, disminuye el interés público (y, por lo tanto, las visualizaciones) primero rápida y después más paulatina y lentamente. En las tres gráficas siguientes se representa en el eje $Y$ el número de visualizaciones (en cientos de miles) como una función del tiempo (en semanas, representado en el eje $X$).



a) Empareje cada gráfica con la función (A), (B) o (C) que le corresponda y, después, explique cuál de las tres representa el comportamiento del fenómeno viral descrito. [1 punto]

(A) $f(x) = \begin{cases} \dfrac{2x}{3} & \text{si } x \le 1{,}5 \\[4pt] -x + 2{,}5 & \text{si } 1{,}5 < x \le 2{,}5 \\[4pt] 0 & \text{en otro caso} \end{cases}$ (B) $f(x) = -x(0{,}8x - 2{,}5)$ (C) $f(x) = \dfrac{9}{0{,}89}\,x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{e}^{-3x}$

b) Considere la función $g(x) = \mathrm{e}^{-x} + 1$. ¿Para qué valores de $x$ está definida $g(x)$? ¿A partir de qué valor de $x$ decrece $g(x)$? ¿Será alguna vez $g(x)$ menor que $1{,}5$? ¿Y menor que 1? [1 punto]

c) Basándose en el estudio de la función, explique si le parece razonable utilizar $g(x)$ para representar las visualizaciones (en cientos de miles) de un fenómeno viral, en función de las semanas ($x$). [0,5 puntos]

$\textbf{a) Empareje cada gráfica con la función (A), (B) o (C) que le corresponda y, después, explique cuál de las tres representa el comportamiento del fenómeno viral descrito. [1 punto]}$

Basta con reconocer el tipo de cada expresión, sin necesidad de tabular valores:

La función $(A)$ está definida a trozos por polinomios de primer grado, así que su gráfica está formada por segmentos rectos: sube con pendiente $2/3$ hasta $x=1{,}5$, baja con pendiente $-1$ hasta $x=2{,}5$ y a partir de ahí vale cero. Es la gráfica poligonal, en forma de pico triangular.

La función $(B)=-x\,(0{,}8x-2{,}5)=-0{,}8x^{2}+2{,}5x$ es un polinomio de segundo grado con el coeficiente principal negativo: su gráfica es una parábola abierta hacia abajo, que pasa por el origen y corta de nuevo el eje en $x=2{,}5/0{,}8=3{,}125$. Es la curva suave y simétrica.

La función $(C)$ combina una potencia de exponente negativo con una exponencial decreciente, de modo que crece muy deprisa cerca del origen, alcanza pronto un máximo y luego cae, primero de golpe y después cada vez más despacio, acercándose al eje sin llegar a tocarlo. Es la curva asimétrica con la cola larga a la derecha.

De las tres, la que representa el fenómeno viral es la $(C)$. Es la única cuyo descenso es primero rápido y luego lento —una cola que se prolonga indefinidamente—, que es exactamente lo que describe el enunciado. La $(A)$ y la $(B)$ caen a cero de forma brusca y en un tiempo finito, y además son simétricas respecto de su máximo: bajarían al mismo ritmo al que subieron, cosa que no ocurre con la popularidad de un contenido viral.

$\textbf{b) Considere la función g(x) = e⁻ˣ + 1. ¿Para qué valores de x está definida? ¿A partir de qué valor de x decrece? ¿Será alguna vez menor que 1,5? ¿Y menor que 1? [1 punto]}$










La función exponencial está definida para cualquier número real y nunca se anula, así que $g$ está definida en todo $\mathbb{R}$; en el contexto del problema interesa $x\ge0$.

Su derivada es

$g'(x)=-e^{-x}<0\quad\text{para todo }x$

porque la exponencial es siempre positiva.





Por tanto $g$ es decreciente en todo su dominio: no hay ningún valor a partir del cual empiece a decrecer, decrece desde el principio.

Para responder a las dos últimas preguntas se resuelve la inecuación:

$e^{-x}+1<1{,}5\iff e^{-x}<0{,}5\iff -x<\ln 0{,}5\iff x>\ln 2=0{,}69$

Sí, $g(x)$ es menor que $1{,}5$ a partir de $x=\ln 2\approx0{,}69$ semanas.

En cambio, nunca es menor que 1:

$g(x)<1\iff e^{-x}<0$

que es imposible, porque la exponencial es siempre positiva. La recta $y=1$ es una asíntota horizontal a la que la gráfica se acerca sin llegar a tocarla.

$\textbf{c) Basándose en el estudio de la función, explique si le parece razonable utilizar g(x) para representar las visualizaciones (en cientos de miles) de un fenómeno viral, en función de las semanas. [0,5 puntos]}$

No es razonable, y por dos motivos que salen directamente del apartado anterior.

El primero: $g$ es decreciente desde el instante inicial, de modo que no hay crecimiento ni pico de popularidad. El modelo describiría un contenido que empieza con el máximo de visualizaciones (200 000 en $x=0$) y no deja de perder interés, justo lo contrario del arranque explosivo que caracteriza a un fenómeno viral.

El segundo: como $g(x)>1$ siempre, el modelo predice que el contenido nunca bajará de $100\,000$ visualizaciones por semana, por muchos meses o años que pasen. Un fenómeno viral acaba cayendo prácticamente a cero.

Sí sería razonable, en cambio, para describir algo que empieza fuerte y se estabiliza en un nivel de base, como el tráfico de una página web tras un pico inicial.