Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2025

La esperanza de vida de un elefante sigue una distribución normal de media 82 años y desviación típica 30.

a) ¿Qué porcentaje de población de elefantes se espera que viva más de 100 años? [0,75 puntos]

b) Si se toma una muestra de 4 elefantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno supere los 100 años de vida? [0,75 puntos]

c) Calcule un valor $a \in \mathbb{R}$ que haga que el 98 % de los elefantes tengan una esperanza de vida menor o igual que $82 + a$. [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $N(0,1)$, con $F(x) = P(Z \le x)$, son: $F(0) = 0{,}5$; $F(0{,}15) = 0{,}6$; $F(0{,}6) = 0{,}7257$; $F(2{,}06) = 0{,}98$; $F(0{,}98) = 0{,}8365$. Si los valores obtenidos no están entre los expuestos debe tomarse el más cercano.

$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de población de elefantes se espera que viva más de 100 años? [0,75 puntos]}$










Sea $X$ la esperanza de vida, con $X\sim N(82;\,30)$. Se tipifica:

$z=\frac{100-82}{30}=0{,}6$





$P(X>100)=P(Z>0{,}6)=1-F(0{,}6)=1-0{,}7257$

$P(X>100)=0{,}2743$

Se espera que viva más de 100 años el $27{,}43\%$ de la población de elefantes.

$\textbf{b) Si se toma una muestra de 4 elefantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno supere los 100 años de vida? [0,75 puntos]}$

Cada elefante supera los 100 años con probabilidad $0{,}2743$, independientemente de los demás, así que el número de ellos que lo consigue sigue una binomial $Y\sim B(4;\,0{,}2743)$. Se pasa al suceso contrario:

$P(Y\ge1)=1-P(Y=0)=1-(1-0{,}2743)^{4}=1-0{,}7257^{4}$

$0{,}7257^{4}=0{,}2774$

$P(Y\ge1)=1-0{,}2774=0{,}7226$

La probabilidad de que al menos uno de los cuatro pase de los 100 años es $0{,}7226$, casi tres de cada cuatro muestras.

$\textbf{c) Calcule un valor a real que haga que el 98 \% de los elefantes tengan una esperanza de vida menor o igual que 82 + a. [1 punto]}$

Se impone la condición y se tipifica, teniendo en cuenta que 82 es justamente la media:

$P(X\le82+a)=0{,}98\Rightarrow P\left(Z\le\frac{82+a-82}{30}\right)=P\left(Z\le\frac{a}{30}\right)=0{,}98$

En la tabla del enunciado, el valor cuya función de distribución vale $0{,}98$ es $z=2{,}06$:

$\frac{a}{30}=2{,}06\Rightarrow a=2{,}06\cdot30$

$a=61{,}8\ \text{años}$

Es decir, el 98 % de los elefantes no llega a los $82+61{,}8=143{,}8$ años.

Merece la pena señalar que el modelo normal no encaja del todo con la realidad biológica: con media 82 y desviación típica 30, la distribución asigna probabilidad no nula a esperanzas de vida negativas —concretamente $P(X<0)=P(Z<-2{,}73)\approx0{,}003$—, que evidentemente no tienen sentido. Es el precio de usar una normal para una magnitud que solo puede ser positiva.