Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Supongamos que tenemos en un monedero 5 monedas de 1 euro, 3 de 2 euros y 2 de 10 céntimos.

a) Si sacamos 3 monedas al azar del monedero, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una sea de 1 euro? [1,25 puntos]

b) Sacamos dos monedas una tras otra (sin reemplazamiento). ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda sea de 10 céntimos? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Si sacamos 3 monedas al azar del monedero, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una sea de 1 euro? [1,25 puntos]}$

En el monedero hay $5+3+2=10$ monedas, de las cuales 5 son de un euro. Se extraen tres a la vez —sin orden y sin reemplazamiento—, de modo que el número de casos posibles es

$\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120$

Calcular «al menos una» directamente obligaría a sumar los casos de una, dos y tres monedas de euro; es mucho más corto pasar al suceso contrario, «ninguna de un euro», que significa elegir las tres entre las cinco monedas restantes:

$\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10$

$P(\text{ninguna de 1 €})=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}$

$P(\text{al menos una de 1 €})=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\approx0{,}9167$

La probabilidad es $\tfrac{11}{12}$, algo más del 91,6 %.

$\textbf{b) Sacamos dos monedas una tras otra (sin reemplazamiento). ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda sea de 10 céntimos? [1,25 puntos]}$

Lo que ocurra con la segunda moneda depende de la primera, así que se distinguen los dos casos y se aplica el teorema de la probabilidad total:



donde $C$ es «la moneda extraída es de 10 céntimos». Sumando los dos caminos que terminan con la segunda moneda de 10 céntimos:

$P(C_2)=\frac{2}{10}\cdot\frac{1}{9}+\frac{8}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{2}{90}+\frac{16}{90}=\frac{18}{90}$

$P(C_2)=\frac15=0{,}2$

La probabilidad de que la segunda moneda sea de 10 céntimos es $0{,}2$.

Y no es casualidad que coincida con la probabilidad de que lo fuera la primera, $2/10$: sin mirar el resultado de la primera extracción, todas las posiciones son equivalentes, así que la probabilidad de que una moneda concreta del orden sea de un tipo dado no depende del lugar que ocupe.