Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Se considera la recta $r \equiv \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + z = 0 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv 2x + y + \beta z = 3$. Se pide:

a) Calcule, en caso de que exista, el valor de $\beta \in \mathbb{R}$ que hace que $r$ y $\pi$ sean paralelos. [0,75 puntos]

b) Calcule, en caso de que exista, el valor de $\beta$ para que el plano y la recta sean perpendiculares. [0,75 puntos]

c) Para $\beta = 0$, calcule el simétrico del punto $(-1, 0, 1)$ respecto del plano $\pi$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule, en caso de que exista, el valor de β que hace que r y π sean paralelos. [0,75 puntos]}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, así que su vector director es perpendicular a los dos normales, es decir, su producto vectorial:

$\vec n_1=(1,1,1)\qquad \vec n_2=(2,-1,1)$

$\vec v=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1\end{vmatrix}=(1+1)\vec\imath-(1-2)\vec\jmath+(-1-2)\vec k=(2,1,-3)$

La recta es paralela al plano $\pi$ cuando su director es perpendicular al normal del plano, $\vec n_\pi=(2,1,\beta)$:

$\vec v\cdot\vec n_\pi=2\cdot2+1\cdot1+(-3)\beta=5-3\beta=0\Rightarrow \beta=\frac53$

Falta comprobar que la recta no queda contenida en el plano, en cuyo caso no serían paralelos. Un punto de $r$ es $P(0,1,1)$ —se obtiene haciendo $z=1$ en el sistema—, y al sustituirlo:

$2\cdot0+1+\frac53\cdot1=\frac83\neq3$

El punto no está en el plano, luego para $\beta=\tfrac53$ la recta y el plano son efectivamente paralelos y disjuntos.

$\textbf{b) Calcule, en caso de que exista, el valor de β para que el plano y la recta sean perpendiculares. [0,75 puntos]}$

Ahora la condición es la contraria: que el director de la recta sea paralelo al normal del plano.

$(2,1,-3)=k\,(2,1,\beta)$

De las dos primeras componentes, $k=1$, y llevándolo a la tercera:

$-3=\beta$

Para $\beta=-3$ la recta es perpendicular al plano. Se comprueba que entonces $\vec n_\pi=(2,1,-3)=\vec v$, en efecto proporcionales.

$\textbf{c) Para β = 0, calcule el simétrico del punto (-1, 0, 1) respecto del plano π. [1 punto]}$










Con $\beta=0$ el plano es $\pi\equiv2x+y=3$, de vector normal $(2,1,0)$.

El simétrico se obtiene en dos pasos: primero se halla el pie $M$ de la perpendicular al plano trazada desde $P$, y luego se prolonga esa misma distancia al otro lado.





Recta perpendicular por $P(-1,0,1)$:

$(x,y,z)=(-1,0,1)+t\,(2,1,0)=(-1+2t,\ t,\ 1)$

Corte con el plano:

$2\,(-1+2t)+t=3\Rightarrow -2+4t+t=3\Rightarrow 5t=5\Rightarrow t=1$

$M=(1,1,1)$

Como $M$ es el punto medio de $P$ y su simétrico $P'$:

$P'=2M-P=(2\cdot1-(-1),\ 2\cdot1-0,\ 2\cdot1-1)$

$P'=(3,2,1)$

El simétrico es $P'(3,2,1)$. Se comprueba que el punto medio de $P$ y $P'$ es $\left(\tfrac{-1+3}{2},\tfrac{0+2}{2},\tfrac{1+1}{2}\right)=(1,1,1)=M$, que pertenece al plano ($2+1=3$).