Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Se sabe que la función $G(x) = \dfrac{1}{3}x^{3} + ax^{2} + bx + 5$ es una primitiva de una función $g$, donde $a, b \in \mathbb{R}$ son valores desconocidos, pero constantes. Se pide:

a) Determine la función $g(x)$ en función de los parámetros $a$ y $b$. [1 punto]

b) ¿Podría dar la forma de todas las primitivas de $g$ en función de una constante $K$? [0,5 puntos]

c) Sabiendo que $g(1) = 2$ y $g(0) = 1$, determine la función $g$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine la función g(x) en función de los parámetros a y b. [1 punto]}$

Que $G$ sea una primitiva de $g$ significa $G'=g$, así que basta derivar:

$G(x)=\frac13x^{3}+ax^{2}+bx+5$

$g(x)=G'(x)=x^{2}+2ax+b$

$\textbf{b) ¿Podría dar la forma de todas las primitivas de g en función de una constante K? [0,5 puntos]}$

Sí. Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante, de modo que todas las primitivas de $g$ se obtienen sumando una constante a la que ya se conoce:

$\int g(x)\,dx=G(x)+K=\frac13x^{3}+ax^{2}+bx+5+K$

y como $5+K$ es de nuevo una constante arbitraria, la familia puede escribirse igualmente

$\frac13x^{3}+ax^{2}+bx+K$

$\textbf{c) Sabiendo que g(1) = 2 y g(0) = 1, determine la función g. [1 punto]}$

Se sustituyen los dos datos en la expresión de $g$ obtenida en el apartado a):

$g(0)=0+0+b=b=1$

$g(1)=1+2a+b=2$

Sustituyendo $b=1$ en la segunda:

$1+2a+1=2\Rightarrow 2a=0\Rightarrow a=0$

$g(x)=x^{2}+1$

La función es $g(x)=x^{2}+1$, y la primitiva de partida resulta ser $G(x)=\tfrac13x^{3}+x+5$. Se comprueba: $G'(x)=x^{2}+1$, $g(0)=1$ y $g(1)=2$.