Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Dada la función $f(x) = \dfrac{x}{x^{2} + 1}$, se pide:

a) Calcule una primitiva de la función $f$ que en 0 valga 1. [1,25 puntos]

b) Calcule el área encerrada entre la gráfica de $f$, el eje $X$ y las rectas $x = -1$ y $x = 1$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule una primitiva de la función f que en 0 valga 1. [1,25 puntos]}$

El numerador es, salvo un factor 2, la derivada del denominador, de modo que la integral es de tipo logarítmico:

$\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac12\int\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx=\frac12\ln\left(x^{2}+1\right)+C$

No hace falta valor absoluto, porque $x^{2}+1>0$ siempre. Se impone ahora la condición:

$F(0)=\frac12\ln(1)+C=C=1$

$F(x)=\frac12\ln\left(x^{2}+1\right)+1$

$\textbf{b) Calcule el área encerrada entre la gráfica de f, el eje X y las rectas x = -1 y x = 1. [1,25 puntos]}$










La función es impar, $f(-x)=-f(x)$, y se anula solo en $x=0$. Eso significa que en $(-1,0)$ la gráfica va por debajo del eje y en $(0,1)$ por encima, así que hay que partir la integral en los dos trozos: si se integrase de $-1$ a $1$ de golpe, saldría cero.





$\text{Área}=\left|\int_{-1}^{0}f\right|+\int_{0}^{1}f=2\int_0^1\frac{x}{x^{2}+1}\,dx$

donde la última igualdad usa la simetría: los dos lóbulos tienen exactamente la misma área.

$\int_0^1\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\left[\frac12\ln\left(x^{2}+1\right)\right]_0^1=\frac12\ln 2-\frac12\ln 1=\frac{\ln 2}{2}$

$\text{Área}=2\cdot\frac{\ln 2}{2}=\ln 2\approx0{,}693\ \text{u}^2$

El área encerrada es $\ln 2\approx0{,}69$ unidades cuadradas.