Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

Se quiere construir una caja sin tapa de forma que tenga dos caras paralelas cuadradas de lado $x$ y tres caras rectangulares, dos de ellas paralelas, de lados $x$ e $y$, como en la figura. Si se quiere utilizar $3\ \text{m}^{2}$ de material, calcule los valores de $x$ e $y$ para que la capacidad de la caja sea máxima. [2,5 puntos]

$\textbf{Se quiere construir una caja sin tapa de forma que tenga dos caras paralelas cuadradas de lado x y tres caras rectangulares, dos de ellas paralelas, de lados x e y. Si se quiere utilizar 3 m² de material, calcule los valores de x e y para que la capacidad de la caja sea máxima. [2,5 puntos]}$










La caja tiene cinco caras: las dos cuadradas de lado $x$ (los laterales), dos rectangulares de $x\times y$ (el frente y el fondo) y una más de $x\times y$ (la base). Falta la de arriba, porque la caja no tiene tapa.





La condición del material fija la relación entre las dos variables:

$2x^{2}+3xy=3\Rightarrow y=\frac{3-2x^{2}}{3x}$

y la magnitud que hay que maximizar es el volumen:

$V=x^{2}\,y=x^{2}\cdot\frac{3-2x^{2}}{3x}=\frac{x\,(3-2x^{2})}{3}=x-\frac{2}{3}x^{3}$

Ya es una función de una sola variable, definida para $0<x<\sqrt{3/2}$ (más allá, $y$ sería negativa). Se deriva y se iguala a cero:

$V'(x)=1-2x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=\frac12\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707\ \text{m}$

(se descarta la raíz negativa, que no tiene sentido geométrico). Se comprueba que es un máximo con la segunda derivada:

$V''(x)=-4x\qquad V''\!\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=-2\sqrt2<0\Rightarrow \text{máximo}$

Y con ese valor de $x$:

$y=\frac{3-2\cdot\frac12}{3\cdot\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{2}{\frac{3\sqrt2}{2}}=\frac{4}{3\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}{3}\approx0{,}943\ \text{m}$

Las dimensiones que hacen máxima la capacidad son $x=\dfrac{\sqrt2}{2}\approx0{,}71$ m e $y=\dfrac{2\sqrt2}{3}\approx0{,}94$ m, y el volumen que se consigue es

$V=x^{2}y=\frac12\cdot\frac{2\sqrt2}{3}=\frac{\sqrt2}{3}\approx0{,}471\ \text{m}^{3}$

Comprobación del material empleado: $2x^2+3xy=2\cdot\tfrac12+3\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{2\sqrt2}{3}=1+2=3$ m², como pedía el enunciado.