Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2025

Un depósito tiene una tubería de entrada de agua y un grifo. Se estudia la cantidad de agua del depósito en cada instante $t$ a lo largo de 4 horas, teniendo en cuenta que en ocasiones se descarga por la apertura del grifo. Se observa que la cantidad de agua viene dada por la función $f(t) = 2\cos(t + \pi/2) + 10$, donde $t \in [0, 4]$. Se pide:

a) Calcule los máximos y mínimos de la función. [1 punto]

b) Demuestre que el depósito no se vacía nunca. [0,75 puntos]

c) Deduzca durante cuánto tiempo el depósito está aumentando el volumen de agua durante esas 4 horas. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule los máximos y mínimos de la función. [1 punto]}$










Conviene simplificar la función antes de derivar. Como $\cos(t+\pi/2)=-\operatorname{sen}(t)$:

$f(t)=10-2\operatorname{sen}(t),\qquad t\in[0,4]$

Se buscan los puntos críticos en el interior del intervalo y se comparan con los extremos.





$f'(t)=-2\cos(t)=0\Rightarrow \cos(t)=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\approx1{,}571$

(el siguiente cero, $3\pi/2\approx4{,}71$, cae fuera de $[0,4]$). Se clasifica con la segunda derivada:

$f''(t)=2\operatorname{sen}(t)\qquad f''\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2>0\Rightarrow \text{mínimo}$

$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=10-2=8$

Faltan los extremos del intervalo, que en un problema de máximos y mínimos absolutos hay que evaluar siempre:

$f(0)=10-2\operatorname{sen}(0)=10\qquad f(4)=10-2\operatorname{sen}(4)=11{,}51$

De modo que en $t=\pi/2$ hay un mínimo, absoluto, de $8$ unidades de agua, y el máximo absoluto se alcanza al final del intervalo, en $t=4$, con $11{,}51$ unidades.

$\textbf{b) Demuestre que el depósito no se vacía nunca. [0,75 puntos]}$

Basta acotar la función usando que el seno nunca pasa de 1:

$\operatorname{sen}(t)\le1\Rightarrow -2\operatorname{sen}(t)\ge-2\Rightarrow f(t)=10-2\operatorname{sen}(t)\ge8$

La cantidad de agua es siempre mayor o igual que 8, y en particular nunca es cero: el depósito no llega a vaciarse. El razonamiento no depende del intervalo $[0,4]$; vale para cualquier instante.

También sirve el apartado anterior: el mínimo absoluto de la función en el intervalo estudiado es 8, y como es el valor más pequeño que toma, la cantidad de agua no baja de ahí.

$\textbf{c) Deduzca durante cuánto tiempo el depósito está aumentando el volumen de agua durante esas 4 horas. [0,75 puntos]}$

El volumen aumenta mientras la derivada sea positiva:

$f'(t)=-2\cos(t)>0\iff \cos(t)<0\iff t\in\left(\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}\right)$

Intersecando con el intervalo de estudio $[0,4]$, y como $3\pi/2\approx4{,}71>4$, el depósito gana agua en

$\left(\frac{\pi}{2},\ 4\right)$

cuya duración es

$4-\frac{\pi}{2}=4-1{,}571=2{,}43\ \text{h}$

es decir, unas $2$ horas y $26$ minutos. En la primera hora y media larga el grifo gana la partida y el nivel baja; a partir de ahí la entrada de agua se impone y el depósito no deja de llenarse.