Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2025

Una matriz $M$ verifica que $\det(M) = x$. Los apartados siguientes son independientes. Se pide:

a) Supongamos que la matriz $M$ tiene 2 filas y 2 columnas, y que $M^{2} = (x - 1)I$, siendo $I$ la matriz identidad. Calcule todos los valores de $x \in \mathbb{R}$. [1 punto]

b) Supongamos ahora que la matriz $M$ tiene 3 filas y 3 columnas. Estudie si existe algún valor de $x$ para el que pueda ser $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & x \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$. [0,75 puntos]

c) Supongamos ahora que el tamaño de $M$ es $3 \times 3$, que $x \ne 0$ y que $M = xM^{2}$. Calcule los posibles valores de $x$ y $\det(M^{-1})$ para cada uno de ellos. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Supongamos que la matriz M tiene 2 filas y 2 columnas, y que M² = (x - 1)I, siendo I la matriz identidad. Calcule todos los valores de x reales. [1 punto]}$

Se toman determinantes en los dos miembros. A la izquierda, el determinante de un producto es el producto de determinantes; a la derecha, al multiplicar una matriz $2\times2$ por un escalar el determinante queda multiplicado por el cuadrado de ese escalar:

$\det(M^{2})=\det(M)^{2}=x^{2}$

$\det\big((x-1)I\big)=(x-1)^{2}\det(I)=(x-1)^{2}$

Igualando:

$x^{2}=(x-1)^{2}\Rightarrow x^{2}=x^{2}-2x+1\Rightarrow 2x=1$

$x=\frac12$

El único valor posible es $x=\tfrac12$. Obsérvese que se ha usado únicamente la información sobre determinantes: no hace falta conocer la matriz.

$\textbf{b) Supongamos ahora que la matriz M tiene 3 filas y 3 columnas. Estudie si existe algún valor de x para el que pueda ser la matriz dada. [0,75 puntos]}$

Se calcula el determinante de esa matriz concreta y se impone que valga $x$, que es lo que dice el enunciado del ejercicio:

$\det(M)=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 0 & -1 & x\\ -1 & -1 & 0\end{vmatrix}=2\,(0+x)-1\,(0+x)+1\,(0-1)$

$\det(M)=2x-x-1=x-1$

La condición $\det(M)=x$ se convierte en

$x-1=x\Rightarrow -1=0$

que es absurdo. No existe ningún valor de $x$ para el que $M$ pueda ser esa matriz: sea cual sea $x$, su determinante siempre se queda una unidad por debajo del valor exigido.

$\textbf{c) Supongamos ahora que el tamaño de M es 3 × 3, que x es distinto de cero y que M = xM². Calcule los posibles valores de x y det(M⁻¹) para cada uno de ellos. [0,75 puntos]}$

De nuevo se toman determinantes, ahora en una matriz de orden 3, donde el escalar sale elevado al cubo:

$\det(M)=\det\big(x\,M^{2}\big)=x^{3}\det(M^{2})=x^{3}\det(M)^{2}$

Sustituyendo $\det(M)=x$:

$x=x^{3}\cdot x^{2}=x^{5}\Rightarrow x^{5}-x=0\Rightarrow x\,(x^{4}-1)=0$

Como el enunciado excluye $x=0$, queda $x^{4}=1$, cuyas soluciones reales son

$x=1\qquad\text{y}\qquad x=-1$

En los dos casos $\det(M)\neq0$, así que $M$ es invertible y el determinante de la inversa es el inverso del determinante:

$\det\left(M^{-1}\right)=\frac{1}{\det(M)}=\frac1x$

$x=1\Rightarrow \det\left(M^{-1}\right)=1\qquad x=-1\Rightarrow \det\left(M^{-1}\right)=-1$