Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado $a \in \mathbb{R}$, se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ -3 & 2 & 2 \\ -5 & 4 & 2 \end{pmatrix}$.

a) Encuentre todos los valores de $a$ para los cuales el sistema de ecuaciones homogéneo $AX = [0]$ tiene infinitas soluciones. ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el sistema no tenga solución? Razone sus respuestas. [0,75 puntos]

b) Suponiendo que $A$ es la matriz ampliada de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, calcule los valores de $a$ para los cuales el sistema tiene solución. [0,75 puntos]

c) Resuelva el sistema homogéneo del apartado a) para el valor $a = 0$. [1 punto]

$\textbf{a) Encuentre todos los valores de a para los cuales el sistema de ecuaciones homogéneo AX = 0 tiene infinitas soluciones. ¿Existe algún valor de a para el cual el sistema no tenga solución? Razone sus respuestas. [0,75 puntos]}$

Un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene infinitas soluciones exactamente cuando el rango de la matriz de coeficientes es menor que 3, es decir, cuando su determinante se anula:

$\det(A)=\begin{vmatrix} 1 & -1 & a\\ -3 & 2 & 2\\ -5 & 4 & 2\end{vmatrix}=1\,(4-8)+1\,(-6+10)+a\,(-12+10)$

$\det(A)=-4+4-2a=-2a$

$-2a=0\Rightarrow a=0$

Para $a=0$ el sistema homogéneo tiene infinitas soluciones; para cualquier otro valor de $a$ el determinante no se anula y la única solución es la trivial $x=y=z=0$.

En cuanto a la segunda pregunta, no: no existe ningún valor de $a$ para el que el sistema no tenga solución. Todo sistema homogéneo es siempre compatible, porque $(0,0,0)$ lo cumple siempre; dicho en términos de rangos, la columna de términos independientes es nula y no puede aumentar el rango de la ampliada.

$\textbf{b) Suponiendo que A es la matriz ampliada de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, calcule los valores de a para los cuales el sistema tiene solución. [0,75 puntos]}$

Ahora las dos primeras columnas son los coeficientes y la tercera, los términos independientes:

$A^*=\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & a\\ -3 & 2 & 2\\ -5 & 4 & 2\end{array}\right)$

La matriz de coeficientes tiene rango 2, porque el menor formado por sus dos primeras filas no se anula:

$\begin{vmatrix} 1 & -1\\ -3 & 2\end{vmatrix}=2-3=-1\neq0$

Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema tiene solución cuando el rango de la ampliada coincide con el de los coeficientes, esto es, cuando también vale 2. Como la ampliada es cuadrada de orden 3, eso equivale a que su determinante sea nulo:

$\det(A^*)=-2a=0\Rightarrow a=0$

El sistema tiene solución solo para $a=0$, y entonces es compatible determinado (rango 2 = número de incógnitas): una única solución.

$\textbf{c) Resuelva el sistema homogéneo del apartado a) para el valor a = 0. [1 punto]}$

Con $a=0$ el sistema es

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} x &-& y & & &=& 0\\ -3x &+& 2y &+& 2z &=& 0\\ -5x &+& 4y &+& 2z &=& 0 \end{array}\right.$

Como el rango es 2, sobra una ecuación y queda un grado de libertad. De la primera, $x=y$; sustituyendo en la segunda:

$-3x+2x+2z=0\Rightarrow -x+2z=0\Rightarrow x=2z$

Se comprueba en la tercera, que debe cumplirse sola:

$-5\,(2z)+4\,(2z)+2z=-10z+8z+2z=0\quad\checkmark$

La solución es, por tanto,

$(x,y,z)=(2\lambda,\ 2\lambda,\ \lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

es decir, todos los múltiplos del vector $(2,2,1)$: geométricamente, una recta que pasa por el origen.