Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2025

En una empresa de telecomunicaciones, el tiempo que tarda un cliente en resolver un problema llamando a Atención al Cliente sigue una distribución normal con media $\mu = 30$ minutos y desviación típica $\sigma = 5$ minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tarde entre 25 y 30 minutos en resolver su problema? [0,75 puntos]

b) Un cliente decide que si tarda más de 20 minutos en su resolución cambiará de empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que cambie? [0,75 puntos]

c) La empresa hace cambios en la gestión de atención al cliente obteniendo que la probabilidad de que se tarde menos de 20 minutos es 0,7. Si se mantiene la desviación típica, ¿se ha mejorado el tiempo de resolución medio o por el contrario el cambio no ha sido positivo? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $N(0,1)$, con $F(x) = P(Z \le x)$, son: $F(0) = 0{,}5$; $F(1) = 0{,}8413$; $F(2) = 0{,}9772$; $F(0{,}7) = 0{,}758$; $F(0{,}525) = 0{,}7$. Si los valores obtenidos no están entre los expuestos debe tomarse el más cercano.

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tarde entre 25 y 30 minutos en resolver su problema? [0,75 puntos]}$










Sea $X$ el tiempo de resolución, con $X\sim N(30;\,5)$. Se tipifica restando la media y dividiendo por la desviación típica:

$z_1=\frac{25-30}{5}=-1\qquad z_2=\frac{30-30}{5}=0$





$P(25<X<30)=P(-1<Z<0)=F(0)-F(-1)$

Por la simetría de la campana, $F(-1)=1-F(1)=1-0{,}8413=0{,}1587$:

$P=0{,}5-0{,}1587=0{,}3413$

La probabilidad es $0{,}3413$, un 34,13 %: como corresponde a la franja de una desviación típica por debajo de la media.

$\textbf{b) Un cliente decide que si tarda más de 20 minutos en su resolución cambiará de empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que cambie? [0,75 puntos]}$

$z=\frac{20-30}{5}=-2$

$P(X>20)=P(Z>-2)=1-F(-2)=1-\big[1-F(2)\big]=F(2)$

$P(X>20)=0{,}9772$

La probabilidad de que ese cliente acabe cambiando de empresa es $0{,}9772$, casi un 98 %. Es altísima, y con razón: 20 minutos está dos desviaciones típicas por debajo de la media de 30, así que lo raro sería resolver el problema en menos tiempo.

$\textbf{c) La empresa hace cambios en la gestión de atención al cliente obteniendo que la probabilidad de que se tarde menos de 20 minutos es 0,7. Si se mantiene la desviación típica, ¿se ha mejorado el tiempo de resolución medio o por el contrario el cambio no ha sido positivo? [1 punto]}$

Ahora la incógnita es la nueva media $\mu$, y el dato es que $P(X<20)=0{,}7$. Tipificando:

$P\left(Z<\frac{20-\mu}{5}\right)=0{,}7$

En la tabla del enunciado, el valor de $z$ cuya función de distribución vale $0{,}7$ es $z=0{,}525$:

$\frac{20-\mu}{5}=0{,}525\Rightarrow 20-\mu=2{,}625\Rightarrow \mu=17{,}375\ \text{min}$

La nueva media es de $17{,}375$ minutos, frente a los 30 de antes: el cambio en la gestión sí ha sido positivo, y mucho, porque ha reducido el tiempo medio de resolución casi a la mitad.

Un detalle que conviene comprobar: el signo de $z$ ha salido positivo, lo que significa que ahora los 20 minutos quedan por encima de la media, coherente con que el 70 % de los clientes resuelva su problema antes de ese tiempo.