Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

En una fábrica de componentes electrónicos se sabe que el 6 % de las piezas que se fabrican son defectuosas. En el proceso de control de calidad se toma una pieza al azar y se introduce en un sistema de prueba/fallo. Se sabe que la probabilidad de que el sistema dé fallo si la pieza es defectuosa es del 95 %, mientras que la probabilidad de que lo haga si la pieza no es defectuosa es del 4 %.

a) Si se seleccionan 10 piezas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea defectuosa? [1,25 puntos]

b) Determine la probabilidad de que, si se selecciona una pieza al azar, la prueba no indique fallo. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Si se seleccionan 10 piezas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea defectuosa? [1,25 puntos]}$

Cada pieza es defectuosa con probabilidad $0{,}06$, independientemente de las demás, así que el número de defectuosas entre las diez sigue una binomial $X\sim B(10;\,0{,}06)$.

Calcular «al menos una» sumando diez términos sería largo; se pasa al suceso contrario:

$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\binom{10}{0}\,0{,}06^{0}\,(1-0{,}06)^{10}=1-0{,}94^{10}$

$0{,}94^{10}=0{,}5386$

$P(X\ge1)=1-0{,}5386=0{,}4614$

La probabilidad de que haya al menos una pieza defectuosa entre las diez es $0{,}4614$, es decir, un 46,1 %.

$\textbf{b) Determine la probabilidad de que, si se selecciona una pieza al azar, la prueba no indique fallo. [1,25 puntos]}$

Se nombran $D=$ «la pieza es defectuosa» y $F=$ «el sistema da fallo». Los datos son

$P(D)=0{,}06\qquad P(F|D)=0{,}95\qquad P(F|\overline{D})=0{,}04$

y el experimento tiene dos etapas, que se organizan en un árbol:



Como $D$ y $\overline{D}$ forman un sistema completo, se aplica el teorema de la probabilidad total sumando los dos caminos que terminan en $\overline{F}$:

$P(\overline{F})=P(D)\,P(\overline{F}|D)+P(\overline{D})\,P(\overline{F}|\overline{D})$

$P(\overline{F})=0{,}06\cdot0{,}05+0{,}94\cdot0{,}96=0{,}003+0{,}9024$

$P(\overline{F})=0{,}9054$

La probabilidad de que la prueba no indique fallo es $0{,}9054$, un 90,5 %.

Conviene fijarse en la composición de ese número: de cada 10 000 piezas, 30 son defectuosas y pasan la prueba (falsos negativos) y 9024 son correctas y la pasan. El control deja escapar, por tanto, una de cada trescientas piezas defectuosas que examina.