Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Se están construyendo dos puentes rectos en un tramo de autovía para los dos carriles. Los puentes siguen las ecuaciones siguientes:

$r_1(t) = (2 + t,\ -1 - 2t,\ 3 + 2t)$; $r_2(s) = (1 + 2s,\ 4 - s,\ 4 - 2s)$.

Se pide:

a) Estudie si los puentes son paralelos, se cortan o se cruzan. [1,25 puntos]

b) La empresa quiere construir un puente de servicio que los una, y quiere que sea lo más corto posible. ¿Qué longitud tendrá la vía de servicio? Indique los puntos inicio y final del pasadizo. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Estudie si los puentes son paralelos, se cortan o se cruzan. [1,25 puntos]}$










De las ecuaciones paramétricas se leen un punto y un vector director de cada recta:

$P_1(2,-1,3),\quad \vec v_1=(1,-2,2)$

$P_2(1,4,4),\quad \vec v_2=(2,-1,-2)$

Los directores no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas.





Para distinguir entre secantes y que se cruzan se estudia el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta:

$\overrightarrow{P_1P_2}=(-1,5,1)$

$\left[\vec v_1,\vec v_2,\overrightarrow{P_1P_2}\right]=\begin{vmatrix} 1 & -2 & 2\\ 2 & -1 & -2\\ -1 & 5 & 1\end{vmatrix}=1\,(-1+10)+2\,(2-2)+2\,(10-1)$

$\left[\vec v_1,\vec v_2,\overrightarrow{P_1P_2}\right]=9+0+18=27\neq0$

Como el producto mixto no es nulo, los tres vectores no son coplanarios y las dos rectas se cruzan: no hay ningún plano que las contenga a la vez y, por tanto, los dos puentes pasan uno por encima del otro sin llegar a tocarse.

$\textbf{b) La empresa quiere construir un puente de servicio que los una, y quiere que sea lo más corto posible. ¿Qué longitud tendrá la vía de servicio? Indique los puntos inicio y final del pasadizo. [1,25 puntos]}$

El tramo más corto entre dos rectas que se cruzan es su perpendicular común, y su longitud se obtiene con el producto mixto:

$\vec v_1\times\vec v_2=\begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k\\ 1 & -2 & 2\\ 2 & -1 & -2\end{vmatrix}=(4+2)\vec\imath-(-2-4)\vec\jmath+(-1+4)\vec k=(6,6,3)$

$\left|\vec v_1\times\vec v_2\right|=\sqrt{36+36+9}=\sqrt{81}=9$

$d(r_1,r_2)=\frac{\left|\left[\vec v_1,\vec v_2,\overrightarrow{P_1P_2}\right]\right|}{\left|\vec v_1\times\vec v_2\right|}=\frac{27}{9}=3$

La vía de servicio medirá $3$ unidades de longitud.

Para los extremos se toman un punto genérico de cada recta y se impone que el vector que los une sea perpendicular a las dos:

$A=(2+t,\,-1-2t,\,3+2t)\qquad B=(1+2s,\,4-s,\,4-2s)$

$\overrightarrow{AB}=(-1+2s-t,\ 5-s+2t,\ 1-2s-2t)$

$\overrightarrow{AB}\cdot\vec v_1=-9-9t=0\Rightarrow t=-1$

$\overrightarrow{AB}\cdot\vec v_2=-9+9s=0\Rightarrow s=1$

$A=(1,1,1)\qquad B=(3,3,2)$

El pasadizo va del punto $A(1,1,1)$ del primer puente al punto $B(3,3,2)$ del segundo. Se comprueba la longitud:

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|(2,2,1)\right|=\sqrt{4+4+1}=3\quad\checkmark$

y de paso que $\overrightarrow{AB}=(2,2,1)$ es proporcional a $\vec v_1\times\vec v_2=(6,6,3)$, como tiene que ser en la perpendicular común.