Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

a) Se considera la función $f(x) = 4\operatorname{sen}(x - \pi)$. Calcule el área acotada encerrada por $f$ y las rectas $y = 0$, $x = 0$ y $x = \pi$. [1,5 puntos]

b) Se considera una función $g(x)$ continua. Sabiendo que una primitiva de $g$ es $f(x) = \operatorname{sen}(x)\cos(x)$, calcule una expresión de $g$. [1 punto]

$\textbf{a) Se considera la función f(x) = 4 sen(x - π). Calcule el área acotada encerrada por f y las rectas y = 0, x = 0 y x = π. [1,5 puntos]}$










Conviene simplificar primero la función. Por la fórmula del seno de una diferencia, o sin más que recordar que desplazar el seno media vuelta lo cambia de signo:

$f(x)=4\operatorname{sen}(x-\pi)=-4\operatorname{sen}(x)$

En $(0,\pi)$ el seno es positivo, así que $f$ es negativa: la gráfica va por debajo del eje.





El área es, por tanto, la integral cambiada de signo:

$\text{Área}=-\int_0^{\pi}\left(-4\operatorname{sen}x\right)dx=4\int_0^{\pi}\operatorname{sen}x\,dx$

$\text{Área}=4\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi}=4\left(-\cos\pi+\cos 0\right)=4\,(1+1)$

$\text{Área}=8\ \text{u}^2$

El recinto mide $8$ unidades cuadradas. Si se hubiera integrado sin más, el resultado habría salido $-8$, y ese signo es justamente el que avisa de que la curva queda bajo el eje.

$\textbf{b) Se considera una función g(x) continua. Sabiendo que una primitiva de g es f(x) = sen(x) cos(x), calcule una expresión de g. [1 punto]}$

Que $f$ sea una primitiva de $g$ significa $f'=g$, de modo que basta derivar, aquí con la regla del producto:

$g(x)=f'(x)=\cos(x)\cos(x)+\operatorname{sen}(x)\,\big(-\operatorname{sen}(x)\big)$

$g(x)=\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)=\cos(2x)$

La expresión más compacta es $g(x)=\cos(2x)$. Se llega a lo mismo simplificando antes de derivar: $f(x)=\operatorname{sen}x\cos x=\tfrac12\operatorname{sen}(2x)$, cuya derivada es $\tfrac12\cdot2\cos(2x)=\cos(2x)$.