Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Se sabe que la función $F(x)$ es una primitiva de la función $f(x) = x\cos(4x^{2} - 1)$. Se pide:

a) Calcule $F$ sabiendo que $F\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1$. [1,5 puntos]

b) Estudie si $F$ tiene un extremo en $x = \dfrac{1}{2}$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule F sabiendo que F(1/2) = 1. [1,5 puntos]}$

Se calcula primero la familia de primitivas de $f(x)=x\cos(4x^{2}-1)$. El integrando es casi de la forma $u'\cos u$ con $u=4x^{2}-1$, cuya derivada es $u'=8x$: basta ajustar el factor.

$\int x\cos(4x^{2}-1)\,dx=\frac18\int 8x\cos(4x^{2}-1)\,dx=\frac18\operatorname{sen}(4x^{2}-1)+C$

Se impone ahora la condición $F\!\left(\tfrac12\right)=1$. Como $4\cdot\tfrac14-1=0$:

$F\!\left(\frac12\right)=\frac18\operatorname{sen}(0)+C=C=1$

$F(x)=\frac18\operatorname{sen}(4x^{2}-1)+1$

$\textbf{b) Estudie si F tiene un extremo en x = 1/2. [1 punto]}$

La condición necesaria para que una función derivable tenga un extremo en un punto es que su derivada se anule ahí. Y la derivada de $F$ es, por definición de primitiva, la propia $f$:

$F'(x)=f(x)=x\cos(4x^{2}-1)$

$F'\!\left(\frac12\right)=\frac12\cos(0)=\frac12\neq0$

Como la derivada no se anula, $F$ no tiene ningún extremo en $x=\tfrac12$. Es más: al ser $F'\left(\tfrac12\right)=\tfrac12>0$, la función es estrictamente creciente en ese punto.

Los extremos de $F$ están donde se anula $f$, es decir, en $x=0$ y en los puntos en que $4x^{2}-1=\tfrac{\pi}{2}+k\pi$; el más próximo por la derecha es $x=\sqrt{(1+\pi/2)/4}\approx0{,}80$.