Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2025

De dos funciones continuas se sabe que $f(1) = 1$, $f'(1) = 2$, $g(1) = -1$ y $g'(1) = 2$. Se construye la función $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$. Se pide:

a) Calcule $h(1)$ y $h'(1)$. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que $f$ tiene un máximo en $x = 3$ y que $k(x) = (x - 2)^{2} f(x)$ tiene un mínimo en ese mismo punto, calcule $f(3)$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule h(1) y h'(1). [1,25 puntos]}$

La función es el cociente $h=\dfrac{f}{g}$, y en $x=1$ el denominador no se anula ($g(1)=-1\neq0$), así que $h$ está definida y es derivable ahí.

$h(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{1}{-1}=-1$

Para la derivada se aplica la regla del cociente:

$h'(x)=\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{\big[g(x)\big]^{2}}$

$h'(1)=\frac{f'(1)\,g(1)-f(1)\,g'(1)}{\big[g(1)\big]^{2}}=\frac{2\cdot(-1)-1\cdot2}{(-1)^{2}}$

$h'(1)=\frac{-2-2}{1}=-4$

De modo que $h(1)=-1$ y $h'(1)=-4$: en ese punto la función decrece con pendiente $-4$.

$\textbf{b) Sabiendo que f tiene un máximo en x = 3 y que k(x) = (x - 2)² f(x) tiene un mínimo en ese mismo punto, calcule f(3). [1,25 puntos]}$

Que $f$ tenga un máximo en $x=3$ —y sea derivable, como dice el enunciado— obliga a que su derivada se anule ahí:

$f'(3)=0$

Y que $k$ tenga un mínimo en el mismo punto obliga igualmente a $k'(3)=0$. Se deriva $k$ con la regla del producto:

$k'(x)=2\,(x-2)\,f(x)+(x-2)^{2}\,f'(x)$

$k'(3)=2\,(3-2)\,f(3)+(3-2)^{2}\,f'(3)=2\,f(3)+f'(3)$

Como $f'(3)=0$, queda

$k'(3)=2\,f(3)=0\Rightarrow f(3)=0$

El valor buscado es $f(3)=0$. Merece la pena notar la coherencia de las dos condiciones: si $f$ alcanza su máximo valiendo cero, entonces $f\le0$ cerca de $x=3$, y como $(x-2)^2\ge0$, el producto $k$ es también menor o igual que cero en un entorno, con $k(3)=0$. Es decir, $k$ alcanza en $x=3$ un máximo... salvo que sea idénticamente nula. El enunciado dice mínimo, lo que solo es compatible si $f$ se anula también a un lado; en cualquier caso, la condición $k'(3)=0$ fuerza $f(3)=0$, que es lo que se pedía.