Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Un turista recorre el Principado de Asturias pasando $x$ días en la zona del oriente, $y$ días en la zona centro y $z$ días en la zona de occidente. Sus gastos en estas vacaciones se reparten como sigue: cada día que pasa en la zona oriental gasta 30 € en hospedaje y 25 € en alimentación, en la zona centro gasta 40 € en hospedaje y 20 € en alimentación. En cuanto a la zona del occidente sus gastos diarios son 30 € en hospedaje y 40 € en alimentación. Además, cada día de vacaciones gasta en otros conceptos 25 € en cada zona.

a) Si decide repartir el presupuesto en 290 € para hospedaje, 290 € para alimentación y 225 € para gastos varios, plantee un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema y escríbalo matricialmente. [0,75 puntos]

b) En la situación del apartado a) decida cuántos días puede estar en cada zona. [1 punto]

c) Manteniendo el presupuesto para cada concepto, decida cuántos días pasará en cada zona si decide no visitar la zona del oriente, o demuestre que no se puede mantener esa distribución del presupuesto. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema y escríbalo matricialmente. [0,75 puntos]}$

Las incógnitas son los días pasados en cada zona: $x$ en el oriente, $y$ en el centro y $z$ en el occidente. Cada concepto de gasto da una ecuación:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} 30x &+& 40y &+& 30z &=& 290\\ 25x &+& 20y &+& 40z &=& 290\\ 25x &+& 25y &+& 25z &=& 225 \end{array}\right.$

La primera es el hospedaje, la segunda la alimentación y la tercera los gastos varios, que son 25 € por día en cualquier zona. En forma matricial, $A\,X=B$:

$\begin{pmatrix} 30 & 40 & 30\\ 25 & 20 & 40\\ 25 & 25 & 25\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 290\\ 290\\ 225\end{pmatrix}$

$\textbf{b) En la situación del apartado a) decida cuántos días puede estar en cada zona. [1 punto]}$

Conviene simplificar cada ecuación antes de operar: la primera se divide entre 10, la segunda entre 5 y la tercera entre 25.

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} 3x &+& 4y &+& 3z &=& 29\\ 5x &+& 4y &+& 8z &=& 58\\ x &+& y &+& z &=& 9 \end{array}\right.$

La tercera dice que el viaje dura nueve días. Restando a la primera el triple de la tercera:

$(3x+4y+3z)-3\,(x+y+z)=29-27\Rightarrow y=2$

Con $y=2$, la tercera da $x+z=7$ y la segunda queda

$5x+8+8z=58\Rightarrow 5x+8z=50$

Sustituyendo $x=7-z$:

$5\,(7-z)+8z=50\Rightarrow 35+3z=50\Rightarrow z=5\Rightarrow x=2$

El turista pasa $2$ días en el oriente, $2$ en el centro y $5$ en el occidente. Se comprueban los tres presupuestos:

$30\cdot2+40\cdot2+30\cdot5=290\qquad 25\cdot2+20\cdot2+40\cdot5=290\qquad 25\cdot9=225$

$\textbf{c) Manteniendo el presupuesto para cada concepto, decida cuántos días pasará en cada zona si decide no visitar la zona del oriente, o demuestre que no se puede mantener esa distribución del presupuesto. [0,75 puntos]}$

No visitar el oriente significa imponer $x=0$, con lo que quedan tres ecuaciones y dos incógnitas:

$\left\{\begin{array}{rcrcl} 4y &+& 3z &=& 29\\ 4y &+& 8z &=& 58\\ y &+& z &=& 9 \end{array}\right.$

Se resuelve con dos de ellas y se comprueba la tercera, que es lo que decide. De la última, $y=9-z$, y llevándolo a la primera:

$4\,(9-z)+3z=29\Rightarrow 36-z=29\Rightarrow z=7\Rightarrow y=2$

Pero al sustituir en la ecuación de la alimentación:

$4\cdot2+8\cdot7=8+56=64\neq58$

El sistema es incompatible: no existe ninguna forma de repartir los nueve días entre el centro y el occidente que agote exactamente los tres presupuestos. Renunciando al oriente no se puede mantener esa distribución del gasto.