Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2026

Los niveles de ácido úrico en sangre de una población de hombres adultos siguen una distribución normal de media $5{,}5\ \text{mg}/\text{dl}$ y desviación típica $0{,}9\ \text{mg}/\text{dl}$.

a) Calcule la probabilidad de que un hombre adulto de la población tenga unos niveles de ácido úrico entre $4{,}3\ \text{mg}/\text{dl}$ y $6{,}1\ \text{mg}/\text{dl}$. [1,25 puntos]

b) Calcule el nivel de ácido úrico en sangre que solo superan el 1,5 % de los hombres adultos de la población. [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución $N(0,1)$, con $F(x) = P(Z \le x)$, son: $F(0) = 0{,}5$; $F(0{,}015) = 0{,}5060$; $F(0{,}8413) = 0{,}7999$; $F(0{,}985) = 0{,}8377$; $F(1) = 0{,}8413$; $F(2{,}17) = 0{,}985$. Si los valores obtenidos no están entre los expuestos debe tomarse el más cercano.

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un hombre adulto de la población tenga unos niveles de ácido úrico entre 4,3 mg/dl y 6,1 mg/dl. [1,25 puntos]}$

Sea $X$ el nivel de ácido úrico, con $X\sim N(5{,}5;\,0{,}9)$. Se tipifica la variable restando la media y dividiendo por la desviación típica:

$z_1=\frac{4{,}3-5{,}5}{0{,}9}=-1{,}33\qquad z_2=\frac{6{,}1-5{,}5}{0{,}9}=0{,}67$

$P(4{,}3<X<6{,}1)=P(-1{,}33<Z<0{,}67)=F(0{,}67)-F(-1{,}33)$

y, usando la simetría de la normal, $F(-1{,}33)=1-F(1{,}33)$:

$P=F(0{,}67)-1+F(1{,}33)$

La tabla que da el enunciado no contiene esos dos valores, así que —siguiendo su propia indicación— se toman los más próximos de los que ofrece: $F(0{,}67)\approx F(0{,}8413)=0{,}7999$ y $F(1{,}33)\approx F(1)=0{,}8413$:

$P\approx0{,}7999-1+0{,}8413=0{,}6412$

La probabilidad es de aproximadamente $0{,}64$, es decir, un 64 % de los hombres adultos. (Con una tabla completa de la $N(0,1)$ saldría $0{,}7486-0{,}0918=0{,}657$, prácticamente lo mismo.)

$\textbf{b) Calcule el nivel de ácido úrico en sangre que solo superan el 1,5 \% de los hombres adultos de la población. [1,25 puntos]}$










Se busca el valor $k$ que deja a su derecha el 1,5 % de la población, o sea, el 98,5 % a su izquierda:

$P(X>k)=0{,}015\iff P(X\le k)=0{,}985$





Tipificando y buscando en la tabla el valor de $z$ cuya función de distribución vale 0,985:

$F(z)=0{,}985\Rightarrow z=2{,}17$

$z=\frac{k-5{,}5}{0{,}9}=2{,}17\Rightarrow k=5{,}5+2{,}17\cdot0{,}9$

$k=7{,}45\ \text{mg}/\text{dl}$

Solo el 1,5 % de los hombres adultos de esa población supera los $7{,}45$ mg/dl de ácido úrico. Obsérvese que ese nivel está a más de dos desviaciones típicas de la media, que es lo que corresponde a una cola tan pequeña.