Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Una tenista profesional quiere analizar la calidad de su saque. Para ello, los entrenadores han colocado sensores que miden la velocidad instantánea de la pelota desde que abandona la raqueta. En el momento en que la pelota sale de la raqueta, su velocidad inicial es de $v_0 = 54\ \text{m}/\text{s}$ y la desaceleración media registrada durante su trayectoria es de $a = -22\ \text{m}/\text{s}^{2}$. Para estudiar el desplazamiento de la pelota, se empleará la función velocidad $v(t) = v_0 + a\,t$. La distancia recorrida desde el instante del golpe se obtiene integrando esta función. Téngase en cuenta que la longitud máxima disponible para que la pelota bote en campo contrario durante un saque reglamentario es de $20{,}06\ \text{m}$.

a) Utilice una integral definida para calcular la distancia que recorre la pelota durante el primer segundo del vuelo. [1,25 puntos]

b) Plantee y resuelva la ecuación necesaria para determinar cuánto tiempo tarda la pelota en recorrer $20{,}06\ \text{m}$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Utilice una integral definida para calcular la distancia que recorre la pelota durante el primer segundo del vuelo. [1,25 puntos]}$










La velocidad de la pelota es

$v(t)=54-22t$

y el espacio recorrido entre dos instantes es la integral definida de la velocidad, es decir, el área bajo su gráfica.





$s=\int_0^1 (54-22t)\,dt=\Big[54t-11t^{2}\Big]_0^1$

$s=(54-11)-(0-0)=43\ \text{m}$

Durante el primer segundo la pelota recorre $43$ metros. El resultado se puede leer en la figura: el recinto sombreado es un trapecio de bases $v(0)=54$ y $v(1)=32$ y altura 1, cuya área es $(54+32)/2=43$.

$\textbf{b) Plantee y resuelva la ecuación necesaria para determinar cuánto tiempo tarda la pelota en recorrer 20,06 m. [1,25 puntos]}$

Se impone que el espacio recorrido desde el golpe hasta un instante $T$ valga 20,06 m:

$\int_0^T (54-22t)\,dt=20{,}06\Rightarrow 54T-11T^{2}=20{,}06$

$11T^{2}-54T+20{,}06=0$

$T=\frac{54\pm\sqrt{54^{2}-4\cdot11\cdot20{,}06}}{2\cdot11}=\frac{54\pm\sqrt{2916-882{,}64}}{22}=\frac{54\pm45{,}09}{22}$

$T_1=\frac{54-45{,}09}{22}=0{,}405\ \text{s}\qquad T_2=\frac{54+45{,}09}{22}=4{,}50\ \text{s}$

La solución válida es $T=0{,}405$ segundos. La segunda hay que descartarla por el contexto: la velocidad se anula en $t=54/22=2{,}45$ s, de modo que a partir de ahí el modelo dejaría de describir el vuelo de la pelota —seguiría dando velocidades negativas, como si la pelota volviese hacia atrás—, y $4{,}50$ s cae mucho más allá.

Dicho de otro modo: la pelota tarda unas cuatro décimas de segundo en cubrir los 20,06 m de longitud máxima del saque reglamentario.