Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

Dadas las siguientes funciones:



a) Dado $p(x) = x^{2} + x^{3}$, identifique razonadamente, sin evaluar $p$, qué función lo representa. [1 punto]

b) Indique razonadamente cuál es el valor del límite $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{h(x)}{f(x)}$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Dado p(x) = x² + x³, identifique razonadamente, sin evaluar p, qué función lo representa. [1 punto]}$










Se trata de leer en la gráfica las propiedades que se deducen de la expresión, sin sustituir valores. Conviene factorizar:

$p(x)=x^{2}+x^{3}=x^{2}\,(1+x)$

y derivar:

$p'(x)=2x+3x^{2}=x\,(2+3x)$





De ahí salen tres rasgos que deciden por sí solos:

El primero: $p(0)=0$ y $p'(0)=0$, así que la curva pasa por el origen con tangente horizontal. Eso descarta la curva verde $f$, que cruza el origen con pendiente claramente no nula.

El segundo: en el intervalo dibujado, $x\in(-0{,}6;\,0{,}6)$, el factor $1+x$ es positivo y $x^2$ también, de modo que $p(x)\ge0$ siempre. La curva no puede bajar del eje $X$, y eso descarta la roja $h$, que es negativa a la derecha del origen.

El tercero, que confirma la elección: $p$ no es par ni impar. Crece más deprisa a la derecha que a la izquierda, porque el término cúbico suma para $x>0$ y resta para $x<0$; la gráfica azul, en efecto, sube mucho más en $x=0{,}6$ de lo que sube en $x=-0{,}6$.

Por tanto, $p$ es la función $g$, la curva azul.

$\textbf{b) Indique razonadamente cuál es el valor del límite de h(x)/f(x) cuando x tiende a 0. [1,5 puntos]}$

Las tres curvas pasan por el origen, así que el límite presenta la indeterminación $\frac{0}{0}$: hay que comparar a qué velocidad se acerca cada una a cero, y eso lo dicen sus tangentes.

En la gráfica se lee que:

$h(0)=0$ y la curva roja llega al origen con tangente horizontal, luego $h'(0)=0$.

$f(0)=0$ pero la curva verde llega al origen con una tangente claramente inclinada, de pendiente positiva, luego $f'(0)\neq0$.

Aplicando la regla de L'Hôpital, válida porque numerador y denominador tienden los dos a cero y son derivables:

$\lim_{x\to0}\frac{h(x)}{f(x)}=\lim_{x\to0}\frac{h'(x)}{f'(x)}=\frac{h'(0)}{f'(0)}=\frac{0}{f'(0)}=0$

El límite vale $0$. La lectura intuitiva es que $h$ es un infinitésimo de orden superior al de $f$ en $x=0$: se aplasta contra el eje mucho más deprisa de lo que lo hace $f$, y por eso el cociente se va a cero. Si se hubiera preguntado por el cociente inverso, $f/h$, el límite sería infinito.