Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Un parque acuático está diseñando un nuevo tobogán curvo que debe ser a la vez rápido y seguro. Para ello, se ha modelado la altura del tobogán sobre el suelo mediante la función $h(x) = 12 - 0{,}4x^{2} + 0{,}03x^{3}$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros desde el inicio del tobogán y $h(x)$ es la altura sobre el suelo en metros. Se necesita estudiar cómo cambiar la inclinación y la forma del tobogán para asegurarse de que no haya tramos peligrosamente verticales ni zonas demasiado planas.

a) Calcule la derivada $h'(x)$ e interprete el significado de $h'(x)$ dentro del contexto del diseño del tobogán. [0,75 puntos]

b) Se considera potencialmente peligroso todo punto donde la pendiente sea menor que $-2$ (demasiada inclinación descendente). Calcule, en caso de existir, los puntos en los que $h'(x) = -2$. [0,75 puntos]

c) Determine los valores de $x$ en los que la función $h(x)$ alcanza un mínimo local. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la derivada h'(x) e interprete el significado de h'(x) dentro del contexto del diseño del tobogán. [0,75 puntos]}$










Se deriva término a término el polinomio

$h(x)=12-0{,}4x^{2}+0{,}03x^{3}$

$h'(x)=-0{,}8x+0{,}09x^{2}$

La derivada es la tasa de variación de la altura respecto de la distancia horizontal.





En el contexto del tobogán, $h'(x)$ es la pendiente de la superficie en cada punto: cuánto baja (o sube) el tobogán por cada metro que se avanza en horizontal. Un valor negativo muy grande en valor absoluto significa un tramo muy inclinado —peligroso—, y un valor próximo a cero, un tramo casi plano, donde el bañista se frenaría. El diseño busca justamente un término medio entre esos dos extremos.

$\textbf{b) Se considera potencialmente peligroso todo punto donde la pendiente sea menor que -2. Calcule, en caso de existir, los puntos en los que h'(x) = -2. [0,75 puntos]}$

Se resuelve la ecuación

$-0{,}8x+0{,}09x^{2}=-2\Rightarrow 0{,}09x^{2}-0{,}8x+2=0$

$\Delta=(-0{,}8)^2-4\cdot0{,}09\cdot2=0{,}64-0{,}72=-0{,}08<0$

El discriminante es negativo, de modo que la ecuación no tiene ninguna solución real: no existe ningún punto del tobogán con pendiente exactamente $-2$.

Se puede afirmar algo más fuerte. Como el coeficiente principal de $0{,}09x^2-0{,}8x+2$ es positivo y no hay raíces reales, ese polinomio es siempre positivo, es decir, $h'(x)+2>0$ y por tanto $h'(x)>-2$ para todo $x$. La pendiente nunca baja de $-2$ y el tobogán no tiene ningún tramo peligroso. La pendiente mínima se alcanza en el vértice de esa parábola, $x=0{,}8/(2\cdot0{,}09)=4{,}44$ m, donde vale $h'(4{,}44)=-1{,}78$.

$\textbf{c) Determine los valores de x en los que la función h(x) alcanza un mínimo local. [1 punto]}$

Se anula la derivada:

$h'(x)=-0{,}8x+0{,}09x^{2}=x\,(0{,}09x-0{,}8)=0\Rightarrow x=0\ \ \text{o}\ \ x=\frac{0{,}8}{0{,}09}=\frac{80}{9}=8{,}89$

y se clasifica cada punto crítico con la segunda derivada:

$h''(x)=-0{,}8+0{,}18x$

$h''(0)=-0{,}8<0\Rightarrow \text{máximo local}$

$h''\!\left(\frac{80}{9}\right)=-0{,}8+0{,}18\cdot8{,}89=0{,}8>0\Rightarrow \text{mínimo local}$

El único mínimo local está en $x=\dfrac{80}{9}\approx8{,}89$ metros, con altura

$h\!\left(\frac{80}{9}\right)=12-0{,}4\cdot79{,}01+0{,}03\cdot702{,}33=1{,}47\ \text{m}$

En $x=0$, el arranque del tobogán, hay un máximo local con la altura inicial de 12 m. A partir de los 8,89 m el modelo haría subir de nuevo el tobogán, así que el diseño solo tiene sentido físico hasta ese punto, que es donde la superficie llega a su cota más baja.