Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una empresa de logística transporta mercancía utilizando camiones pequeños, medianos y grandes. Para el transporte de toda la mercancía se utilizan un total de 10 camiones. Cada camión pequeño transporta 1 tonelada de mercancía, cada mediano 2 toneladas y cada grande 3 toneladas. La carga total que ha de transportarse es de $(m + 9)$ toneladas, con $m \in \mathbb{R}$. El transporte de la mercancía tiene un coste asociado de dos unidades por cada camión pequeño, de 3 unidades por cada camión mediano y de $7 - m$ unidades por cada camión grande. El coste total del transporte es de 22 unidades.

a) Plantee el sistema de ecuaciones lineales que modeliza la situación. [0,75 puntos]

b) Determine un valor de $m$ para el que el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo. [1 punto]

c) Resuelva el sistema para $m = 1$. ¿Tiene sentido esta solución para el problema dado? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Plantee el sistema de ecuaciones lineales que modeliza la situación. [0,75 puntos]}$

Se llama $x$ al número de camiones pequeños, $y$ al de medianos y $z$ al de grandes. Las tres condiciones del enunciado —número de camiones, carga transportada y coste— dan una ecuación cada una:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &+& z &=& 10\\ x &+& 2y &+& 3z &=& m+9\\ 2x &+& 3y &+& (7-m)z &=& 22 \end{array}\right.$

$\textbf{b) Determine un valor de m para el que el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo. [1 punto]}$

El sistema tiene infinitas soluciones cuando es compatible indeterminado, y para eso el determinante de la matriz de coeficientes ha de anularse:

$\det(A)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 7-m\end{vmatrix}=1\,(14-2m-9)-1\,(7-m-6)+1\,(3-4)$

$\det(A)=(5-2m)-(1-m)-1=3-m$

que se anula solo para $m=3$. Con ese valor el sistema queda

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &+& z &=& 10\\ x &+& 2y &+& 3z &=& 12\\ 2x &+& 3y &+& 4z &=& 22 \end{array}\right.$

y se comprueba que la tercera ecuación es la suma de las dos primeras, tanto en los coeficientes como en el término independiente ($10+12=22$). Sobra, por tanto, y el sistema es compatible indeterminado: rango 2 con tres incógnitas, un grado de libertad.

Se resuelve con las dos primeras. Restándolas:

$y+2z=2\Rightarrow y=2-2z$

$x=10-y-z=10-(2-2z)-z=8+z$

$(x,y,z)=(8+z,\ 2-2z,\ z),\qquad z\in\mathbb{R}$

Ahora bien, el problema no admite cualquier solución: el número de camiones ha de ser un entero no negativo, y $y=2-2z\ge0$ obliga a $z\le1$. Solo hay dos repartos posibles:

$z=0:\ (8,2,0)\qquad z=1:\ (9,0,1)$

es decir, u ocho pequeños y dos medianos, o nueve pequeños y uno grande. En ambos casos son 10 camiones y 12 toneladas.

$\textbf{c) Resuelva el sistema para m = 1. ¿Tiene sentido esta solución para el problema dado? [0,75 puntos]}$

Con $m=1$ el determinante vale $3-1=2\neq0$, así que el sistema es compatible determinado y tiene solución única. Queda

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &+& z &=& 10\\ x &+& 2y &+& 3z &=& 10\\ 2x &+& 3y &+& 6z &=& 22 \end{array}\right.$

Restando la primera de la segunda: $y+2z=0$. Restando el doble de la primera a la tercera: $y+4z=2$. De las dos:

$2z=2\Rightarrow z=1\Rightarrow y=-2\Rightarrow x=10-(-2)-1=11$

$(x,y,z)=(11,-2,1)$

Matemáticamente la solución es correcta —se comprueba en las tres ecuaciones—, pero no tiene ningún sentido para el problema: $y=-2$ significaría emplear menos dos camiones medianos. Con $m=1$ los datos del enunciado son incompatibles con una flota real.