Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2026

Una grúa debe levantar una serie de cajas. Cuando el brazo de la grúa intenta levantar más de 40 kg el sistema de seguridad se activa y la grúa no puede continuar. Supongamos que el peso de las cajas sigue una distribución $N(38;\ 1{,}2)$.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de seguridad se active al intentar levantar una caja? [1,25 puntos]

b) Se realiza el levantamiento de 10 cajas, una detrás de otra. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema salte al menos una vez? [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución $N(0,1)$, con $F(x) = P(Z \le x)$, son: $F(0) = 0{,}5$; $F(1{,}6667) = 0{,}9520$; $F(0{,}9520) = 0{,}83$; $F(0{,}83) = 0{,}7975$; $F(0{,}79) = 0{,}7852$. Si los valores obtenidos no están entre los expuestos debe tomarse el más cercano.

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de seguridad se active al intentar levantar una caja? [1,25 puntos]}$










Sea $X$ el peso de una caja, con $X\sim N(38;\,1{,}2)$. El sistema se activa cuando el peso pasa de 40 kg, así que hay que calcular $P(X>40)$ tipificando la variable.





$z=\frac{40-38}{1{,}2}=1{,}6667$

$P(X>40)=P(Z>1{,}6667)=1-P(Z\le1{,}6667)=1-F(1{,}6667)$

La tabla del enunciado da $F(1{,}6667)=0{,}9520$:

$P(X>40)=1-0{,}9520=0{,}048$

La probabilidad de que el sistema salte con una caja concreta es $0{,}048$, un 4,8 %.

$\textbf{b) Se realiza el levantamiento de 10 cajas, una detrás de otra. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema salte al menos una vez? [1,25 puntos]}$

Cada levantamiento es una prueba independiente con la misma probabilidad de éxito, así que el número de veces que salta el sistema sigue una distribución binomial $Y\sim B(10;\,0{,}048)$.

Calcular «al menos una» sumando diez términos sería absurdo; se pasa al suceso contrario, «no salta ninguna vez»:

$P(Y\ge1)=1-P(Y=0)=1-\binom{10}{0}\,0{,}048^0\,(1-0{,}048)^{10}$

$P(Y\ge1)=1-0{,}952^{10}$

$0{,}952^{10}=0{,}6115$

$P(Y\ge1)=1-0{,}6115=0{,}3885$

La probabilidad de que el sistema de seguridad salte al menos una vez en los diez levantamientos es de $0{,}3885$, casi un 39 %. Es un buen ejemplo de cómo un riesgo pequeño por intento —el 4,8 %— se vuelve considerable al repetir la operación: con 10 cajas ya es más probable que salte alguna vez que ninguna... aunque no llega a la mitad, porque para eso harían falta 15 cajas.