Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Un móvil se desplaza en línea recta desde el punto $P(2, 1, 3)$ hacia el punto $Q(0, -1, 1)$. Cuando llega a la mitad de la distancia de $P$ a $Q$ da un giro y se desplaza por la recta que pasa por $H(1, 1, 1)$.

a) Calcule las coordenadas del punto en el que se realiza el giro. [0,5 puntos]

b) Calcule la recta por la que se desplaza el móvil tras realizar el giro. [0,75 puntos]

c) Calcule el ángulo de giro del móvil. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule las coordenadas del punto en el que se realiza el giro. [0,5 puntos]}$










El móvil gira al llegar a la mitad del camino entre $P$ y $Q$, es decir, en el punto medio del segmento, cuyas coordenadas son la semisuma de las de los extremos.





$M=\frac{P+Q}{2}=\left(\frac{2+0}{2},\ \frac{1+(-1)}{2},\ \frac{3+1}{2}\right)$

$M=(1,0,2)$

$\textbf{b) Calcule la recta por la que se desplaza el móvil tras realizar el giro. [0,75 puntos]}$

Tras el giro el móvil se desplaza por la recta que pasa por $M$ (donde está) y por $H(1,1,1)$. Su vector director es

$\vec{MH}=H-M=(1-1,\ 1-0,\ 1-2)=(0,1,-1)$

y la recta, en forma paramétrica,

$s\equiv(x,y,z)=(1,0,2)+\mu\,(0,1,-1)\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\mu\\ z=2-\mu\end{array}\right.$

También puede darse como intersección de dos planos: $x=1$, $y+z=2$.

$\textbf{c) Calcule el ángulo de giro del móvil. [0,75 puntos]}$

El ángulo de giro es el que forman la dirección con la que llegaba y la dirección con la que se marcha. La primera es la del vector $\overrightarrow{PQ}$:

$\overrightarrow{PQ}=Q-P=(-2,-2,-2)$

y la segunda, la de $\vec{MH}=(0,1,-1)$. Su producto escalar es

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{MH}=(-2)\cdot0+(-2)\cdot1+(-2)\cdot(-1)=0-2+2=0$

$\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{MH}}{|\overrightarrow{PQ}|\,|\vec{MH}|}=\frac{0}{2\sqrt3\cdot\sqrt2}=0$

$\alpha=90^\circ$

El móvil gira exactamente $90^\circ$: los dos tramos de la trayectoria son perpendiculares. Se ha podido concluir sin calcular los módulos, porque un producto escalar nulo entre vectores no nulos ya significa ortogonalidad.