Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Dada la función $f(x) = \dfrac{x - 2}{x^{2} + 1}$, se pide:

a) Calcule una primitiva de la función $f$. [1,25 puntos]

b) Calcule el área del recinto acotado encerrado por la gráfica de $f$, el eje $X$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule una primitiva de la función f. [1,25 puntos]}$

La función es un cociente cuyo denominador tiene derivada $2x$, así que conviene separarla en dos sumandos: uno de tipo logarítmico y otro de tipo arcotangente.

$\int\frac{x-2}{x^2+1}\,dx=\int\frac{x}{x^2+1}\,dx-2\int\frac{1}{x^2+1}\,dx$

La primera se ajusta multiplicando y dividiendo por 2 para que arriba aparezca la derivada del denominador; la segunda es inmediata:

$\int\frac{x}{x^2+1}\,dx=\frac12\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\frac12\ln(x^2+1)$

$\int\frac{1}{x^2+1}\,dx=\operatorname{arctg}(x)$

De modo que una primitiva es

$F(x)=\frac12\ln(x^2+1)-2\operatorname{arctg}(x)$

(no hace falta valor absoluto en el logaritmo: $x^2+1>0$ siempre). Puede comprobarse derivando: $F'(x)=\frac{x}{x^2+1}-\frac{2}{x^2+1}=\frac{x-2}{x^2+1}=f(x)$.

$\textbf{b) Calcule el área del recinto acotado encerrado por la gráfica de f, el eje X y las rectas x = 0 y x = 1. [1,25 puntos]}$










En $[0,1]$ el denominador es positivo y el numerador $x-2$ es negativo, porque $x\le1<2$. La función es negativa en todo el intervalo, así que la gráfica va por debajo del eje $X$ y el área es la integral cambiada de signo.





$\text{Área}=-\int_0^1\frac{x-2}{x^2+1}\,dx=-\big[F(x)\big]_0^1$

$F(1)=\frac12\ln 2-2\operatorname{arctg}(1)=\frac12\ln 2-2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\ln 2}{2}-\frac{\pi}{2}$

$F(0)=\frac12\ln 1-2\operatorname{arctg}(0)=0$

$\text{Área}=-\left(\frac{\ln 2}{2}-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\ln 2}{2}$

$\text{Área}=\frac{\pi-\ln 2}{2}\approx1{,}22\ \text{u}^2$

El área del recinto es $\dfrac{\pi-\ln 2}{2}\approx1{,}22$ unidades cuadradas. El signo final es el esperado: un área siempre sale positiva, y aquí lo garantiza haber puesto el menos delante de una integral que valía $-1{,}22$.