Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Se sabe que la función $F(x) = \dfrac{1}{2}\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}x^{2}\right)$ es una primitiva de $f$. Se pide:

a) Calcule la función $f$. [1 punto]

b) Calcule una función que sea una primitiva de $f$ y tal que en $x = 0$ tome el valor 6. [0,75 puntos]

c) Calcule el área del recinto encerrado por la gráfica de $f$, el eje $X$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule la función f. [1 punto]}$

Que $F$ sea una primitiva de $f$ significa exactamente que $F'=f$, así que basta derivar aplicando la regla de la cadena:

$F(x)=\frac12\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}x^2\right)$

$f(x)=F'(x)=\frac12\cos\!\left(\frac{\pi}{2}x^2\right)\cdot\frac{\pi}{2}\cdot2x$

$f(x)=\frac{\pi}{2}\,x\,\cos\!\left(\frac{\pi}{2}x^2\right)$

$\textbf{b) Calcule una función que sea una primitiva de f y tal que en x = 0 tome el valor 6. [0,75 puntos]}$

Todas las primitivas de $f$ se diferencian de $F$ en una constante:

$G(x)=F(x)+C=\frac12\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}x^2\right)+C$

Se impone la condición pedida:

$G(0)=\frac12\operatorname{sen}(0)+C=C=6$

$G(x)=\frac12\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}x^2\right)+6$

$\textbf{c) Calcule el área del recinto encerrado por la gráfica de f, el eje X y las rectas x = 0 y x = 1. [0,75 puntos]}$










Antes de integrar hay que ver el signo de $f$ en $[0,1]$. Allí $x\ge0$ y el argumento del coseno recorre $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$, donde el coseno es no negativo. El producto es, por tanto, mayor o igual que cero: la gráfica no cruza el eje y el área coincide con la integral.





$\text{Área}=\int_0^1 f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_0^1=F(1)-F(0)$

$F(1)=\frac12\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac12\qquad F(0)=\frac12\operatorname{sen}(0)=0$

$\text{Área}=\frac12-0=\frac12\ \text{u}^2$

El área vale $\tfrac12$ unidades cuadradas. Nótese lo cómodo del enunciado: como ya se conocía una primitiva, la regla de Barrow resuelve la integral sin necesidad de hacer el cambio de variable $u=\frac{\pi}{2}x^2$ que habría hecho falta de partir de $f$.