Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} x^{2} - Ax + 11 & \text{si } x < 2 \\[4pt] \sqrt{5x - 1} & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$. Se pide:

a) Calcule el valor de $A$ para el que $f$ es una función continua. [0,75 puntos]

b) Si $A = 6$, estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. [1,25 puntos]

c) Para $A = 6$, ¿es $x = 2$ un extremo relativo de la función? ¿De qué tipo? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el valor de A para el que f es una función continua. [0,75 puntos]}$










Cada trozo es continuo donde está definido: el primero es un polinomio y el segundo una raíz cuadrada cuyo radicando, $5x-1$, es positivo para todo $x\ge2$. El único punto dudoso es el de empalme, $x=2$, y ahí hay que igualar los dos límites laterales al valor de la función.





$\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}(x^2-Ax+11)=4-2A+11=15-2A$

$\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}\sqrt{5x-1}=\sqrt{9}=3=f(2)$

Igualando:

$15-2A=3\Rightarrow A=6$

Con $A=6$ la función es continua en todo $\mathbb{R}$.

$\textbf{b) Si A = 6, estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. [1,25 puntos]}$

Se deriva cada trozo por separado:

$f'(x)=\begin{cases} 2x-6 & \text{si } x<2\\[4pt] \dfrac{5}{2\sqrt{5x-1}} & \text{si } x>2\end{cases}$

Para $x<2$: $2x-6<2\cdot2-6=-2<0$, así que la función decrece en todo el intervalo $(-\infty,2)$ (la parábola tiene su vértice en $x=3$, a la derecha del empalme, de modo que hasta $x=2$ solo baja).

Para $x>2$: la raíz es positiva, luego $f'(x)>0$ y la función crece en $(2,+\infty)$.

En conclusión, $f$ decrece en $(-\infty,2)$ y crece en $(2,+\infty)$.

$\textbf{c) Para A = 6, ¿es x = 2 un extremo relativo de la función? ¿De qué tipo? [0,5 puntos]}$

Sí: la función decrece justo antes de $x=2$ y crece justo después, de modo que en $x=2$ alcanza un mínimo relativo, de valor $f(2)=3$.

Conviene subrayar que ese mínimo no se detecta anulando la derivada, porque $f$ no es derivable en $x=2$: los dos derivados laterales no coinciden,

$f'(2^-)=2\cdot2-6=-2\qquad f'(2^+)=\frac{5}{2\sqrt{9}}=\frac{5}{6}$

La gráfica presenta ahí un pico, como se ve en la figura. Es el recordatorio de que la condición $f'(x)=0$ es suficiente para buscar extremos solo donde la función es derivable; en los puntos de no derivabilidad hay que mirar el signo de la derivada a un lado y a otro.