Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Un cliente de una cafetería compra 1 café, 2 tés y 2 zumos y paga 11 euros. Al día siguiente compra 1 café, 3 tés y 3 zumos y paga 16 euros. El tercer día compra 3 cafés, 3 tés y los zumos que pueda pagar con 21 euros exactos (no deben darle vuelta). Se pide:

a) Encuentre un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema de calcular el precio de cada producto en función del número $p$ de zumos que le den el tercer día. Discuta el sistema obtenido en función del número de zumos pagados el último día. [1,5 puntos]

b) El camarero del tercer día le dice «Por ese dinero te daré dos zumos» y el cliente responde «Eso es imposible, el precio está mal calculado». ¿Quién tiene razón? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]

c) El camarero le contesta que, en efecto, tiene razón: en realidad le tiene que dar 4 zumos, y el cliente queda satisfecho. ¿A qué precio le ha cobrado cada bebida? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Encuentre un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema de calcular el precio de cada producto en función del número p de zumos que le den el tercer día. Discuta el sistema obtenido en función del número de zumos pagados el último día. [1,5 puntos]}$

Se llama $c$ al precio del café, $t$ al del té y $z$ al del zumo, los tres en euros. Cada día de compra da una ecuación:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} c &+& 2t &+& 2z &=& 11\\ c &+& 3t &+& 3z &=& 16\\ 3c &+& 3t &+& p\,z &=& 21 \end{array}\right.$

La matriz de coeficientes y la ampliada son

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 3\\ 3 & 3 & p\end{pmatrix}\qquad A^*=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 11\\ 1 & 3 & 3 & 16\\ 3 & 3 & p & 21\end{pmatrix}$

Se discute con el determinante de $A$:

$\det(A)=1\,(3p-9)-2\,(p-9)+2\,(3-9)=3p-9-2p+18-12=p-3$

$\textbf{Si }p\neq3$: $\det(A)\neq0$, luego $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$ y el sistema es compatible determinado: hay una única solución.

$\textbf{Si }p=3$: $\det(A)=0$, y como el menor $\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}=1\neq0$, se tiene $\operatorname{rg}(A)=2$. En la ampliada, la tercera ecuación pasa a ser $3c+3t+3z=21$, es decir, $c+t+z=7$; pero restando las dos primeras se obtiene $t+z=5$ y de la primera $c=11-2(t+z)=1$, de donde $c+t+z=6\neq7$. La ampliada tiene rango 3 y el sistema es incompatible: no tiene solución.

$\textbf{b) El camarero del tercer día le dice «Por ese dinero te daré dos zumos» y el cliente responde «Eso es imposible, el precio está mal calculado». ¿Quién tiene razón? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]}$

Conviene resolver el sistema en general antes de sustituir. Restando la primera ecuación de la segunda:

$t+z=5$

y llevándolo a la primera, $c+2(t+z)=11$, resulta $c=1$: el café cuesta 1 € sea cual sea $p$. Sustituyendo $c=1$ y $t=5-z$ en la tercera ecuación:

$3+3(5-z)+p\,z=21\Rightarrow 18-3z+p\,z=21\Rightarrow z\,(p-3)=3$

$z=\dfrac{3}{p-3}\qquad t=5-z\qquad c=1$

Con $p=2$ el sistema es compatible determinado, pero da

$z=\frac{3}{2-3}=-3\ \text{€}\qquad t=5-(-3)=8\ \text{€}\qquad c=1\ \text{€}$

Los tres valores satisfacen las tres ecuaciones —$3+24-6=21$—, pero el zumo saldría a $-3$ €, es decir, el camarero tendría que pagar al cliente por cada zumo. Como un precio negativo no tiene sentido, la razón la tiene el cliente: por 21 € no le pueden dar dos zumos.

$\textbf{c) El camarero le contesta que, en efecto, tiene razón: en realidad le tiene que dar 4 zumos, y el cliente queda satisfecho. ¿A qué precio le ha cobrado cada bebida? [0,5 puntos]}$

Se sustituye $p=4$ en las fórmulas del apartado anterior:

$z=\frac{3}{4-3}=3\ \text{€}\qquad t=5-3=2\ \text{€}\qquad c=1\ \text{€}$

El café cuesta $1$ €, el té $2$ € y el zumo $3$ €. Se comprueban las tres compras:

$1+2\cdot2+2\cdot3=11\quad\checkmark\qquad 1+3\cdot2+3\cdot3=16\quad\checkmark\qquad 3\cdot1+3\cdot2+4\cdot3=21\quad\checkmark$